Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15628 / 8728
↖ ↑ ↗
← N 64.052978°
W  8.305664°		 ← 534.49 m → N 64.052978°
W  8.294678°		 →
↑
534.59 m
↓
↑
534.59 m
↓
N 64.048171°
W  8.305664°		 ← 534.58 m →
285 757 m²		 N 64.048171°
W  8.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476943969726562 y=0.266372680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476943969726562 × 215)
    floor (0.476943969726562 × 32768)
    floor (15628.5)     		tx = 15628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266372680664062 × 215)
    floor (0.266372680664062 × 32768)
    floor (8728.5)     		ty = 8728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15628 / 8728 ti = "15/15628/8728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15628/8728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15628 ÷ 215
    15628 ÷ 32768     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8728 ÷ 215
    8728 ÷ 32768     		y = 0.266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266357421875 × 2 - 1) × π
    0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4680196139646))-π/2
    2×atan(4.34063049959284)-π/2
    2×1.34436584761437-π/2
    2.68873169522873-1.57079632675     		φ = 1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15628 KachelY 8728 -0.14496118 1.11793537 -8.305664 64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 15629 KachelY 8728 -0.14476944 1.11793537 -8.294678 64.052978
    Unten links KachelX 15628 KachelY + 1 8729 -0.14496118 1.11785146 -8.305664 64.048171
    Unten rechts KachelX + 1 15629 KachelY + 1 8729 -0.14476944 1.11785146 -8.294678 64.048171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11793537-1.11785146) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dl = 534.590610000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11793537-1.11785146) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dr = 534.590610000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14476944) × cos(1.11793537) × R
    0.000191739999999996 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 534.488028304145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14476944) × cos(1.11785146) × R
    0.000191739999999996 × 0.437615340989335 × 6371000     		du = 534.580196481319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11793537)-sin(1.11785146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.437615340989335)×R²
    abs(-0.14476944--0.14496118)×7.5450247779163e-05×R²
    0.000191739999999996×7.5450247779163e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.5450247779163e-05×40589641000000     		ar = 285756.917377095m²