Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15628 / 17176
↖ ↑ ↗
← N 78.754945°
W137.076416°		 ← 59.56 m → N 78.754945°
W137.073669°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.754409°
W137.076416°		 ← 59.56 m →
3 548 m²		 N 78.754409°
W137.073669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119235992431641 y=0.131046295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119235992431641 × 217)
    floor (0.119235992431641 × 131072)
    floor (15628.5)     		tx = 15628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131046295166016 × 217)
    floor (0.131046295166016 × 131072)
    floor (17176.5)     		ty = 17176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15628 / 17176 ti = "17/15628/17176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15628/17176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15628 ÷ 217
    15628 ÷ 131072     		x = 0.119232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17176 ÷ 217
    17176 ÷ 131072     		y = 0.13104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.76153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39243479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13104248046875 × 2 - 1) × π
    0.7379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31822846562592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39243479} λ = -2.39243479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31822846562592))-π/2
    2×atan(10.1576637071684)-π/2
    2×1.47266470639516-π/2
    2.94532941279033-1.57079632675     		φ = 1.37453309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39243479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.076416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37453309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.754945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15628 KachelY 17176 -2.39243479 1.37453309 -137.076416 78.754945
    Oben rechts KachelX + 1 15629 KachelY 17176 -2.39238685 1.37453309 -137.073669 78.754945
    Unten links KachelX 15628 KachelY + 1 17177 -2.39243479 1.37452374 -137.076416 78.754409
    Unten rechts KachelX + 1 15629 KachelY + 1 17177 -2.39238685 1.37452374 -137.073669 78.754409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37453309-1.37452374) × R
    9.34999999979702e-06 × 6371000     		dl = 59.5688499987068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37453309-1.37452374) × R
    9.34999999979702e-06 × 6371000     		dr = 59.5688499987068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39243479--2.39238685) × cos(1.37453309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19500567554342 × 6371000     		do = 59.55975275701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39243479--2.39238685) × cos(1.37452374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19501484603466 × 6371000     		du = 59.5625536610831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37453309)-sin(1.37452374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19500567554342-0.19501484603466)×R²
    abs(-2.39238685--2.39243479)×9.17049124010694e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17049124010694e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17049124010694e-06×40589641000000     		ar = 3547.98940127426m²