Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15627 / 9931
↖ ↑ ↗
← N 57.639521°
W  8.316650°		 ← 653.88 m → N 57.639521°
W  8.305664°		 →
↑
653.92 m
↓
↑
653.92 m
↓
N 57.633640°
W  8.316650°		 ← 653.98 m →
427 616 m²		 N 57.633640°
W  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476913452148438 y=0.303085327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476913452148438 × 215)
    floor (0.476913452148438 × 32768)
    floor (15627.5)     		tx = 15627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303085327148438 × 215)
    floor (0.303085327148438 × 32768)
    floor (9931.5)     		ty = 9931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15627 / 9931 ti = "15/15627/9931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15627/9931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15627 ÷ 215
    15627 ÷ 32768     		x = 0.476898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9931 ÷ 215
    9931 ÷ 32768     		y = 0.303070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.04620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14515293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303070068359375 × 2 - 1) × π
    0.39385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23734725299289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14515293} λ = -0.14515293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23734725299289))-π/2
    2×atan(3.4464587444333)-π/2
    2×1.28839787178002-π/2
    2.57679574356004-1.57079632675     		φ = 1.00599942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14515293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00599942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.639521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15627 KachelY 9931 -0.14515293 1.00599942 -8.316650 57.639521
    Oben rechts KachelX + 1 15628 KachelY 9931 -0.14496118 1.00599942 -8.305664 57.639521
    Unten links KachelX 15627 KachelY + 1 9932 -0.14515293 1.00589678 -8.316650 57.633640
    Unten rechts KachelX + 1 15628 KachelY + 1 9932 -0.14496118 1.00589678 -8.305664 57.633640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00599942-1.00589678) × R
    0.000102639999999932 × 6371000     		dl = 653.919439999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00599942-1.00589678) × R
    0.000102639999999932 × 6371000     		dr = 653.919439999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14515293--0.14496118) × cos(1.00599942) × R
    0.000191750000000018 × 0.535244274764401 × 6371000     		do = 653.875414390039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14515293--0.14496118) × cos(1.00589678) × R
    0.000191750000000018 × 0.53533097167802 × 6371000     		du = 653.98132674257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00599942)-sin(1.00589678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535244274764401-0.53533097167802)×R²
    abs(-0.14496118--0.14515293)×8.66969136193996e-05×R²
    0.000191750000000018×8.66969136193996e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.66969136193996e-05×40589641000000     		ar = 427616.474256085m²