Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15627 / 17171
↖ ↑ ↗
← N 78.757622°
W137.079162°		 ← 59.53 m → N 78.757622°
W137.076416°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.757087°
W137.079162°		 ← 59.54 m →
3 546 m²		 N 78.757087°
W137.076416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119228363037109 y=0.131008148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119228363037109 × 217)
    floor (0.119228363037109 × 131072)
    floor (15627.5)     		tx = 15627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131008148193359 × 217)
    floor (0.131008148193359 × 131072)
    floor (17171.5)     		ty = 17171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15627 / 17171 ti = "17/15627/17171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15627/17171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15627 ÷ 217
    15627 ÷ 131072     		x = 0.119224548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17171 ÷ 217
    17171 ÷ 131072     		y = 0.131004333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119224548339844 × 2 - 1) × π
    -0.761550903320312 × 3.1415926535     		Λ = -2.39248272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131004333496094 × 2 - 1) × π
    0.737991333007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.31846815012402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39248272} λ = -2.39248272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31846815012402))-π/2
    2×atan(10.1600986334914)-π/2
    2×1.47268807356764-π/2
    2.94537614713528-1.57079632675     		φ = 1.37457982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39248272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.079162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37457982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.757622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15627 KachelY 17171 -2.39248272 1.37457982 -137.079162 78.757622
    Oben rechts KachelX + 1 15628 KachelY 17171 -2.39243479 1.37457982 -137.076416 78.757622
    Unten links KachelX 15627 KachelY + 1 17172 -2.39248272 1.37457047 -137.079162 78.757087
    Unten rechts KachelX + 1 15628 KachelY + 1 17172 -2.39243479 1.37457047 -137.076416 78.757087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37457982-1.37457047) × R
    9.34999999979702e-06 × 6371000     		dl = 59.5688499987068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37457982-1.37457047) × R
    9.34999999979702e-06 × 6371000     		dr = 59.5688499987068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39248272--2.39243479) × cos(1.37457982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194959842447741 × 6371000     		do = 59.5333332583588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39248272--2.39243479) × cos(1.37457047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194969013024176 × 6371000     		du = 59.5361336041953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37457982)-sin(1.37457047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194959842447741-0.194969013024176)×R²
    abs(-2.39243479--2.39248272)×9.17057643504138e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.17057643504138e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.17057643504138e-06×40589641000000     		ar = 3546.41560540427m²