Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15625 / 9930
↖ ↑ ↗
← N 57.645401°
W  8.338623°		 ← 653.77 m → N 57.645401°
W  8.327637°		 →
↑
653.79 m
↓
↑
653.79 m
↓
N 57.639521°
W  8.338623°		 ← 653.88 m →
427 464 m²		 N 57.639521°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476852416992188 y=0.303054809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476852416992188 × 215)
    floor (0.476852416992188 × 32768)
    floor (15625.5)     		tx = 15625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303054809570312 × 215)
    floor (0.303054809570312 × 32768)
    floor (9930.5)     		ty = 9930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15625 / 9930 ti = "15/15625/9930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15625/9930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15625 ÷ 215
    15625 ÷ 32768     		x = 0.476837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9930 ÷ 215
    9930 ÷ 32768     		y = 0.30303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.04632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14553643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30303955078125 × 2 - 1) × π
    0.3939208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23753900059137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14553643} λ = -0.14553643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23753900059137))-π/2
    2×atan(3.44711965798308)-π/2
    2×1.28844918352677-π/2
    2.57689836705355-1.57079632675     		φ = 1.00610204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14553643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.338623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00610204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.645401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15625 KachelY 9930 -0.14553643 1.00610204 -8.338623 57.645401
    Oben rechts KachelX + 1 15626 KachelY 9930 -0.14534468 1.00610204 -8.327637 57.645401
    Unten links KachelX 15625 KachelY + 1 9931 -0.14553643 1.00599942 -8.338623 57.639521
    Unten rechts KachelX + 1 15626 KachelY + 1 9931 -0.14534468 1.00599942 -8.327637 57.639521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00610204-1.00599942) × R
    0.000102620000000053 × 6371000     		dl = 653.792020000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00610204-1.00599942) × R
    0.000102620000000053 × 6371000     		dr = 653.792020000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14553643--0.14534468) × cos(1.00610204) × R
    0.000191749999999991 × 0.535157589107044 × 6371000     		do = 653.769515788505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14553643--0.14534468) × cos(1.00599942) × R
    0.000191749999999991 × 0.535244274764401 × 6371000     		du = 653.875414389944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00610204)-sin(1.00599942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535157589107044-0.535244274764401)×R²
    abs(-0.14534468--0.14553643)×8.66856573566999e-05×R²
    0.000191749999999991×8.66856573566999e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.66856573566999e-05×40589641000000     		ar = 427463.910547759m²