Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15625 / 9830
↖ ↑ ↗
← N 58.228596°
W  8.338623°		 ← 643.23 m → N 58.228596°
W  8.327637°		 →
↑
643.28 m
↓
↑
643.28 m
↓
N 58.222811°
W  8.338623°		 ← 643.34 m →
413 812 m²		 N 58.222811°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476852416992188 y=0.300003051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476852416992188 × 215)
    floor (0.476852416992188 × 32768)
    floor (15625.5)     		tx = 15625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300003051757812 × 215)
    floor (0.300003051757812 × 32768)
    floor (9830.5)     		ty = 9830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15625 / 9830 ti = "15/15625/9830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15625/9830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15625 ÷ 215
    15625 ÷ 32768     		x = 0.476837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9830 ÷ 215
    9830 ÷ 32768     		y = 0.29998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.04632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14553643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29998779296875 × 2 - 1) × π
    0.4000244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25671376043939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14553643} λ = -0.14553643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25671376043939))-π/2
    2×atan(3.51385512313675)-π/2
    2×1.29353852405091-π/2
    2.58707704810182-1.57079632675     		φ = 1.01628072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14553643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.338623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01628072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.228596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15625 KachelY 9830 -0.14553643 1.01628072 -8.338623 58.228596
    Oben rechts KachelX + 1 15626 KachelY 9830 -0.14534468 1.01628072 -8.327637 58.228596
    Unten links KachelX 15625 KachelY + 1 9831 -0.14553643 1.01617975 -8.338623 58.222811
    Unten rechts KachelX + 1 15626 KachelY + 1 9831 -0.14534468 1.01617975 -8.327637 58.222811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01628072-1.01617975) × R
    0.000100969999999867 × 6371000     		dl = 643.279869999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01628072-1.01617975) × R
    0.000100969999999867 × 6371000     		dr = 643.279869999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14553643--0.14534468) × cos(1.01628072) × R
    0.000191749999999991 × 0.526531552400982 × 6371000     		do = 643.23161077644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14553643--0.14534468) × cos(1.01617975) × R
    0.000191749999999991 × 0.526617389926608 × 6371000     		du = 643.336473266868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01628072)-sin(1.01617975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526531552400982-0.526617389926608)×R²
    abs(-0.14534468--0.14553643)×8.58375256261867e-05×R²
    0.000191749999999991×8.58375256261867e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.58375256261867e-05×40589641000000     		ar = 413811.675276517m²