Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15624 / 9849
↖ ↑ ↗
← N 58.118518°
W  8.349609°		 ← 645.19 m → N 58.118518°
W  8.338623°		 →
↑
645.32 m
↓
↑
645.32 m
↓
N 58.112714°
W  8.349609°		 ← 645.30 m →
416 388 m²		 N 58.112714°
W  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476821899414062 y=0.300582885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476821899414062 × 215)
    floor (0.476821899414062 × 32768)
    floor (15624.5)     		tx = 15624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300582885742188 × 215)
    floor (0.300582885742188 × 32768)
    floor (9849.5)     		ty = 9849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15624 / 9849 ti = "15/15624/9849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15624/9849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15624 ÷ 215
    15624 ÷ 32768     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9849 ÷ 215
    9849 ÷ 32768     		y = 0.300567626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300567626953125 × 2 - 1) × π
    0.39886474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25307055606827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25307055606827))-π/2
    2×atan(3.50107672208983)-π/2
    2×1.29257790672837-π/2
    2.58515581345675-1.57079632675     		φ = 1.01435949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01435949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.118518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15624 KachelY 9849 -0.14572817 1.01435949 -8.349609 58.118518
    Oben rechts KachelX + 1 15625 KachelY 9849 -0.14553643 1.01435949 -8.338623 58.118518
    Unten links KachelX 15624 KachelY + 1 9850 -0.14572817 1.01425820 -8.349609 58.112714
    Unten rechts KachelX + 1 15625 KachelY + 1 9850 -0.14553643 1.01425820 -8.338623 58.112714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01435949-1.01425820) × R
    0.000101289999999921 × 6371000     		dl = 645.318589999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01435949-1.01425820) × R
    0.000101289999999921 × 6371000     		dr = 645.318589999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14553643) × cos(1.01435949) × R
    0.000191739999999996 × 0.528163924070575 × 6371000     		do = 645.192130755017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14553643) × cos(1.01425820) × R
    0.000191739999999996 × 0.528249930997942 × 6371000     		du = 645.29719471376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01435949)-sin(1.01425820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528163924070575-0.528249930997942)×R²
    abs(-0.14553643--0.14572817)×8.60069273673769e-05×R²
    0.000191739999999996×8.60069273673769e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.60069273673769e-05×40589641000000     		ar = 416388.376316453m²