Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15624 / 6379
↖ ↑ ↗
← N 73.293152°
W  8.349609°		 ← 351.17 m → N 73.293152°
W  8.338623°		 →
↑
351.23 m
↓
↑
351.23 m
↓
N 73.289993°
W  8.349609°		 ← 351.24 m →
123 355 m²		 N 73.289993°
W  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476821899414062 y=0.194686889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476821899414062 × 215)
    floor (0.476821899414062 × 32768)
    floor (15624.5)     		tx = 15624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194686889648438 × 215)
    floor (0.194686889648438 × 32768)
    floor (6379.5)     		ty = 6379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15624 / 6379 ti = "15/15624/6379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15624/6379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15624 ÷ 215
    15624 ÷ 32768     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6379 ÷ 215
    6379 ÷ 32768     		y = 0.194671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194671630859375 × 2 - 1) × π
    0.61065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91843472279465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91843472279465))-π/2
    2×atan(6.81029013011238)-π/2
    2×1.42500157354035-π/2
    2.8500031470807-1.57079632675     		φ = 1.27920682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27920682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.293152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15624 KachelY 6379 -0.14572817 1.27920682 -8.349609 73.293152
    Oben rechts KachelX + 1 15625 KachelY 6379 -0.14553643 1.27920682 -8.338623 73.293152
    Unten links KachelX 15624 KachelY + 1 6380 -0.14572817 1.27915169 -8.349609 73.289993
    Unten rechts KachelX + 1 15625 KachelY + 1 6380 -0.14553643 1.27915169 -8.338623 73.289993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27920682-1.27915169) × R
    5.51300000000143e-05 × 6371000     		dl = 351.233230000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27920682-1.27915169) × R
    5.51300000000143e-05 × 6371000     		dr = 351.233230000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14553643) × cos(1.27920682) × R
    0.000191739999999996 × 0.28747499838113 × 6371000     		do = 351.17242638392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14553643) × cos(1.27915169) × R
    0.000191739999999996 × 0.287527800804518 × 6371000     		du = 351.236928532784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27920682)-sin(1.27915169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28747499838113-0.287527800804518)×R²
    abs(-0.14553643--0.14572817)×5.28024233880098e-05×R²
    0.000191739999999996×5.28024233880098e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.28024233880098e-05×40589641000000     		ar = 123354.753285738m²