Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15622 / 9951
↖ ↑ ↗
← N 57.521723°
W  8.371582°		 ← 656 m → N 57.521723°
W  8.360596°		 →
↑
656.02 m
↓
↑
656.02 m
↓
N 57.515823°
W  8.371582°		 ← 656.10 m →
430 382 m²		 N 57.515823°
W  8.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476760864257812 y=0.303695678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476760864257812 × 215)
    floor (0.476760864257812 × 32768)
    floor (15622.5)     		tx = 15622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303695678710938 × 215)
    floor (0.303695678710938 × 32768)
    floor (9951.5)     		ty = 9951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15622 / 9951 ti = "15/15622/9951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15622/9951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15622 ÷ 215
    15622 ÷ 32768     		x = 0.47674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9951 ÷ 215
    9951 ÷ 32768     		y = 0.303680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303680419921875 × 2 - 1) × π
    0.39263916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23351230102328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14611167} λ = -0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23351230102328))-π/2
    2×atan(3.43326705160473)-π/2
    2×1.28736989034531-π/2
    2.57473978069062-1.57079632675     		φ = 1.00394345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00394345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.521723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15622 KachelY 9951 -0.14611167 1.00394345 -8.371582 57.521723
    Oben rechts KachelX + 1 15623 KachelY 9951 -0.14591992 1.00394345 -8.360596 57.521723
    Unten links KachelX 15622 KachelY + 1 9952 -0.14611167 1.00384048 -8.371582 57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 15623 KachelY + 1 9952 -0.14591992 1.00384048 -8.360596 57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00394345-1.00384048) × R
    0.000102969999999925 × 6371000     		dl = 656.021869999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00394345-1.00384048) × R
    0.000102969999999925 × 6371000     		dr = 656.021869999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14611167--0.14591992) × cos(1.00394345) × R
    0.000191749999999991 × 0.53697981465292 × 6371000     		do = 655.995618037699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14611167--0.14591992) × cos(1.00384048) × R
    0.000191749999999991 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 656.101732236875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00394345)-sin(1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53697981465292-0.537066676792603)×R²
    abs(-0.14591992--0.14611167)×8.68621396832303e-05×R²
    0.000191749999999991×8.68621396832303e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.68621396832303e-05×40589641000000     		ar = 430382.279054041m²