Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15622 / 6378
↖ ↑ ↗
← N 73.296310°
W  8.371582°		 ← 351.13 m → N 73.296310°
W  8.360596°		 →
↑
351.17 m
↓
↑
351.17 m
↓
N 73.293152°
W  8.371582°		 ← 351.19 m →
123 316 m²		 N 73.293152°
W  8.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476760864257812 y=0.194656372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476760864257812 × 215)
    floor (0.476760864257812 × 32768)
    floor (15622.5)     		tx = 15622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194656372070312 × 215)
    floor (0.194656372070312 × 32768)
    floor (6378.5)     		ty = 6378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15622 / 6378 ti = "15/15622/6378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15622/6378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15622 ÷ 215
    15622 ÷ 32768     		x = 0.47674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6378 ÷ 215
    6378 ÷ 32768     		y = 0.19464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19464111328125 × 2 - 1) × π
    0.6107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91862647039313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14611167} λ = -0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91862647039313))-π/2
    2×atan(6.81159611209524)-π/2
    2×1.42502913232988-π/2
    2.85005826465976-1.57079632675     		φ = 1.27926194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27926194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.296310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15622 KachelY 6378 -0.14611167 1.27926194 -8.371582 73.296310
    Oben rechts KachelX + 1 15623 KachelY 6378 -0.14591992 1.27926194 -8.360596 73.296310
    Unten links KachelX 15622 KachelY + 1 6379 -0.14611167 1.27920682 -8.371582 73.293152
    Unten rechts KachelX + 1 15623 KachelY + 1 6379 -0.14591992 1.27920682 -8.360596 73.293152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27926194-1.27920682) × R
    5.51200000000751e-05 × 6371000     		dl = 351.169520000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27926194-1.27920682) × R
    5.51200000000751e-05 × 6371000     		dr = 351.169520000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14611167--0.14591992) × cos(1.27926194) × R
    0.000191749999999991 × 0.287422204662054 × 6371000     		do = 351.126246536681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14611167--0.14591992) × cos(1.27920682) × R
    0.000191749999999991 × 0.28747499838113 × 6371000     		du = 351.190741416058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27926194)-sin(1.27920682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287422204662054-0.28747499838113)×R²
    abs(-0.14591992--0.14611167)×5.27937190757943e-05×R²
    0.000191749999999991×5.27937190757943e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.27937190757943e-05×40589641000000     		ar = 123316.159805042m²