Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15621 / 9926
↖ ↑ ↗
← N 57.668911°
W  8.382568°		 ← 653.35 m → N 57.668911°
W  8.371582°		 →
↑
653.41 m
↓
↑
653.41 m
↓
N 57.663035°
W  8.382568°		 ← 653.45 m →
426 937 m²		 N 57.663035°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476730346679688 y=0.302932739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476730346679688 × 215)
    floor (0.476730346679688 × 32768)
    floor (15621.5)     		tx = 15621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302932739257812 × 215)
    floor (0.302932739257812 × 32768)
    floor (9926.5)     		ty = 9926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15621 / 9926 ti = "15/15621/9926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15621/9926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15621 ÷ 215
    15621 ÷ 32768     		x = 0.476715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9926 ÷ 215
    9926 ÷ 32768     		y = 0.30291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.04656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14630342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30291748046875 × 2 - 1) × π
    0.3941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23830599098529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14630342} λ = -0.14630342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23830599098529))-π/2
    2×atan(3.44976457983261)-π/2
    2×1.28865434741422-π/2
    2.57730869482844-1.57079632675     		φ = 1.00651237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14630342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00651237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.668911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15621 KachelY 9926 -0.14630342 1.00651237 -8.382568 57.668911
    Oben rechts KachelX + 1 15622 KachelY 9926 -0.14611167 1.00651237 -8.371582 57.668911
    Unten links KachelX 15621 KachelY + 1 9927 -0.14630342 1.00640981 -8.382568 57.663035
    Unten rechts KachelX + 1 15622 KachelY + 1 9927 -0.14611167 1.00640981 -8.371582 57.663035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00651237-1.00640981) × R
    0.000102559999999974 × 6371000     		dl = 653.409759999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00651237-1.00640981) × R
    0.000102559999999974 × 6371000     		dr = 653.409759999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14630342--0.14611167) × cos(1.00651237) × R
    0.000191749999999991 × 0.534810916875798 × 6371000     		do = 653.34600738393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14630342--0.14611167) × cos(1.00640981) × R
    0.000191749999999991 × 0.534897574367118 × 6371000     		du = 653.451871576633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00651237)-sin(1.00640981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534810916875798-0.534897574367118)×R²
    abs(-0.14611167--0.14630342)×8.66574913200857e-05×R²
    0.000191749999999991×8.66574913200857e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.66574913200857e-05×40589641000000     		ar = 426937.244603518m²