Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15621 / 6956
↖ ↑ ↗
← N 71.371109°
W  8.382568°		 ← 390.24 m → N 71.371109°
W  8.371582°		 →
↑
390.29 m
↓
↑
390.29 m
↓
N 71.367599°
W  8.382568°		 ← 390.31 m →
152 318 m²		 N 71.367599°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476730346679688 y=0.212295532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476730346679688 × 215)
    floor (0.476730346679688 × 32768)
    floor (15621.5)     		tx = 15621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212295532226562 × 215)
    floor (0.212295532226562 × 32768)
    floor (6956.5)     		ty = 6956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15621 / 6956 ti = "15/15621/6956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15621/6956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15621 ÷ 215
    15621 ÷ 32768     		x = 0.476715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6956 ÷ 215
    6956 ÷ 32768     		y = 0.2122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.04656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14630342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2122802734375 × 2 - 1) × π
    0.575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80779635847156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14630342} λ = -0.14630342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80779635847156))-π/2
    2×atan(6.09699702189595)-π/2
    2×1.40822858846387-π/2
    2.81645717692775-1.57079632675     		φ = 1.24566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14630342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.371109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15621 KachelY 6956 -0.14630342 1.24566085 -8.382568 71.371109
    Oben rechts KachelX + 1 15622 KachelY 6956 -0.14611167 1.24566085 -8.371582 71.371109
    Unten links KachelX 15621 KachelY + 1 6957 -0.14630342 1.24559959 -8.382568 71.367599
    Unten rechts KachelX + 1 15622 KachelY + 1 6957 -0.14611167 1.24559959 -8.371582 71.367599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24566085-1.24559959) × R
    6.12599999998409e-05 × 6371000     		dl = 390.287459998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24566085-1.24559959) × R
    6.12599999998409e-05 × 6371000     		dr = 390.287459998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14630342--0.14611167) × cos(1.24566085) × R
    0.000191749999999991 × 0.319437167609414 × 6371000     		do = 390.236981860469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14630342--0.14611167) × cos(1.24559959) × R
    0.000191749999999991 × 0.319495217442913 × 6371000     		du = 390.307897815528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24566085)-sin(1.24559959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319437167609414-0.319495217442913)×R²
    abs(-0.14611167--0.14630342)×5.8049833498941e-05×R²
    0.000191749999999991×5.8049833498941e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.8049833498941e-05×40589641000000     		ar = 152318.439299249m²