Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15620 / 8732
↖ ↑ ↗
← N 64.033744°
W  8.393555°		 ← 534.88 m → N 64.033744°
W  8.382568°		 →
↑
534.91 m
↓
↑
534.91 m
↓
N 64.028933°
W  8.393555°		 ← 534.98 m →
286 139 m²		 N 64.028933°
W  8.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476699829101562 y=0.266494750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476699829101562 × 215)
    floor (0.476699829101562 × 32768)
    floor (15620.5)     		tx = 15620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266494750976562 × 215)
    floor (0.266494750976562 × 32768)
    floor (8732.5)     		ty = 8732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15620 / 8732 ti = "15/15620/8732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15620/8732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15620 ÷ 215
    15620 ÷ 32768     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8732 ÷ 215
    8732 ÷ 32768     		y = 0.2664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2664794921875 × 2 - 1) × π
    0.467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46725262357068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46725262357068))-π/2
    2×atan(4.33730255411035)-π/2
    2×1.34419799529511-π/2
    2.68839599059022-1.57079632675     		φ = 1.11759966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11759966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.033744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15620 KachelY 8732 -0.14649517 1.11759966 -8.393555 64.033744
    Oben rechts KachelX + 1 15621 KachelY 8732 -0.14630342 1.11759966 -8.382568 64.033744
    Unten links KachelX 15620 KachelY + 1 8733 -0.14649517 1.11751570 -8.393555 64.028933
    Unten rechts KachelX + 1 15621 KachelY + 1 8733 -0.14630342 1.11751570 -8.382568 64.028933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11759966-1.11751570) × R
    8.3959999999994e-05 × 6371000     		dl = 534.909159999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11759966-1.11751570) × R
    8.3959999999994e-05 × 6371000     		dr = 534.909159999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14630342) × cos(1.11759966) × R
    0.000191750000000018 × 0.437841736176989 × 6371000     		do = 534.884650202006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14630342) × cos(1.11751570) × R
    0.000191750000000018 × 0.437917219044972 × 6371000     		du = 534.976863036236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11759966)-sin(1.11751570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437841736176989-0.437917219044972)×R²
    abs(-0.14630342--0.14649517)×7.54828679829234e-05×R²
    0.000191750000000018×7.54828679829234e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.54828679829234e-05×40589641000000     		ar = 286139.36184914m²