Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15620 / 8726
↖ ↑ ↗
← N 64.062590°
W  8.393555°		 ← 534.33 m → N 64.062590°
W  8.382568°		 →
↑
534.34 m
↓
↑
534.34 m
↓
N 64.057785°
W  8.393555°		 ← 534.42 m →
285 537 m²		 N 64.057785°
W  8.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476699829101562 y=0.266311645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476699829101562 × 215)
    floor (0.476699829101562 × 32768)
    floor (15620.5)     		tx = 15620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266311645507812 × 215)
    floor (0.266311645507812 × 32768)
    floor (8726.5)     		ty = 8726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15620 / 8726 ti = "15/15620/8726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15620/8726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15620 ÷ 215
    15620 ÷ 32768     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8726 ÷ 215
    8726 ÷ 32768     		y = 0.26629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26629638671875 × 2 - 1) × π
    0.4674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46840310916156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46840310916156))-π/2
    2×atan(4.34229542976718)-π/2
    2×1.3444497303737-π/2
    2.6888994607474-1.57079632675     		φ = 1.11810313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11810313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.062590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15620 KachelY 8726 -0.14649517 1.11810313 -8.393555 64.062590
    Oben rechts KachelX + 1 15621 KachelY 8726 -0.14630342 1.11810313 -8.382568 64.062590
    Unten links KachelX 15620 KachelY + 1 8727 -0.14649517 1.11801926 -8.393555 64.057785
    Unten rechts KachelX + 1 15621 KachelY + 1 8727 -0.14630342 1.11801926 -8.382568 64.057785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11810313-1.11801926) × R
    8.38699999998749e-05 × 6371000     		dl = 534.335769999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11810313-1.11801926) × R
    8.38699999998749e-05 × 6371000     		dr = 534.335769999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14630342) × cos(1.11810313) × R
    0.000191750000000018 × 0.437389034960865 × 6371000     		do = 534.331612627865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14630342) × cos(1.11801926) × R
    0.000191750000000018 × 0.437464455397821 × 6371000     		du = 534.423749193904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11810313)-sin(1.11801926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437389034960865-0.437464455397821)×R²
    abs(-0.14630342--0.14649517)×7.54204369565747e-05×R²
    0.000191750000000018×7.54204369565747e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.54204369565747e-05×40589641000000     		ar = 285537.109766695m²