Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15620 / 17148
↖ ↑ ↗
← N 78.769932°
W137.098389°		 ← 59.48 m → N 78.769932°
W137.095642°		 →
↑
59.51 m
↓
↑
59.51 m
↓
N 78.769397°
W137.098389°		 ← 59.48 m →
3 540 m²		 N 78.769397°
W137.095642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119174957275391 y=0.130832672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119174957275391 × 217)
    floor (0.119174957275391 × 131072)
    floor (15620.5)     		tx = 15620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130832672119141 × 217)
    floor (0.130832672119141 × 131072)
    floor (17148.5)     		ty = 17148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15620 / 17148 ti = "17/15620/17148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15620/17148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15620 ÷ 217
    15620 ÷ 131072     		x = 0.119171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17148 ÷ 217
    17148 ÷ 131072     		y = 0.130828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.76165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39281828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130828857421875 × 2 - 1) × π
    0.73834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31957069881528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39281828} λ = -2.39281828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31957069881528))-π/2
    2×atan(10.1713068145901)-π/2
    2×1.47279549183509-π/2
    2.94559098367019-1.57079632675     		φ = 1.37479466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39281828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.098389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37479466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.769932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15620 KachelY 17148 -2.39281828 1.37479466 -137.098389 78.769932
    Oben rechts KachelX + 1 15621 KachelY 17148 -2.39277034 1.37479466 -137.095642 78.769932
    Unten links KachelX 15620 KachelY + 1 17149 -2.39281828 1.37478532 -137.098389 78.769397
    Unten rechts KachelX + 1 15621 KachelY + 1 17149 -2.39277034 1.37478532 -137.095642 78.769397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37479466-1.37478532) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dl = 59.5051400005087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37479466-1.37478532) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dr = 59.5051400005087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39281828--2.39277034) × cos(1.37479466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194749120466396 × 6371000     		do = 59.4813942327591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39281828--2.39277034) × cos(1.37478532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194758281625742 × 6371000     		du = 59.4841922866318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37479466)-sin(1.37478532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194749120466396-0.194758281625742)×R²
    abs(-2.39277034--2.39281828)×9.16115934657125e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.16115934657125e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.16115934657125e-06×40589641000000     		ar = 3539.53194046717m²