Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15620 / 10031
↖ ↑ ↗
← N 57.046706°
W  8.393555°		 ← 664.52 m → N 57.046706°
W  8.382568°		 →
↑
664.56 m
↓
↑
664.56 m
↓
N 57.040730°
W  8.393555°		 ← 664.62 m →
441 646 m²		 N 57.040730°
W  8.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476699829101562 y=0.306137084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476699829101562 × 215)
    floor (0.476699829101562 × 32768)
    floor (15620.5)     		tx = 15620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306137084960938 × 215)
    floor (0.306137084960938 × 32768)
    floor (10031.5)     		ty = 10031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15620 / 10031 ti = "15/15620/10031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15620/10031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15620 ÷ 215
    15620 ÷ 32768     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10031 ÷ 215
    10031 ÷ 32768     		y = 0.306121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306121826171875 × 2 - 1) × π
    0.38775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21817249314487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21817249314487))-π/2
    2×atan(3.38100327760763)-π/2
    2×1.28322459034394-π/2
    2.56644918068788-1.57079632675     		φ = 0.99565285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99565285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.046706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15620 KachelY 10031 -0.14649517 0.99565285 -8.393555 57.046706
    Oben rechts KachelX + 1 15621 KachelY 10031 -0.14630342 0.99565285 -8.382568 57.046706
    Unten links KachelX 15620 KachelY + 1 10032 -0.14649517 0.99554854 -8.393555 57.040730
    Unten rechts KachelX + 1 15621 KachelY + 1 10032 -0.14630342 0.99554854 -8.382568 57.040730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99565285-0.99554854) × R
    0.000104309999999996 × 6371000     		dl = 664.559009999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99565285-0.99554854) × R
    0.000104309999999996 × 6371000     		dr = 664.559009999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14630342) × cos(0.99565285) × R
    0.000191750000000018 × 0.543955189707502 × 6371000     		do = 664.517009987944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14630342) × cos(0.99554854) × R
    0.000191750000000018 × 0.544042714757169 × 6371000     		du = 664.623934023975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99565285)-sin(0.99554854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543955189707502-0.544042714757169)×R²
    abs(-0.14630342--0.14649517)×8.75250496663593e-05×R²
    0.000191750000000018×8.75250496663593e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.75250496663593e-05×40589641000000     		ar = 441646.295351662m²