Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1562 / 1693
↖ ↑ ↗
← N 29.764378°
W 42.714844°		 ← 8 483.68 m → N 29.764378°
W 42.626953°		 →
↑
8 486.94 m
↓
↑
8 486.94 m
↓
N 29.688053°
W 42.714844°		 ← 8 490.13 m →
72 027 842 m²		 N 29.688053°
W 42.626953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3814697265625 y=0.4134521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3814697265625 × 212)
    floor (0.3814697265625 × 4096)
    floor (1562.5)     		tx = 1562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4134521484375 × 212)
    floor (0.4134521484375 × 4096)
    floor (1693.5)     		ty = 1693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1562 / 1693 ti = "12/1562/1693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1562/1693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1562 ÷ 212
    1562 ÷ 4096     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1693 ÷ 212
    1693 ÷ 4096     		y = 0.413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413330078125 × 2 - 1) × π
    0.17333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.544563179683838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.544563179683838))-π/2
    2×atan(1.72385520291161)-π/2
    2×1.04514135589204-π/2
    2.09028271178409-1.57079632675     		φ = 0.51948639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51948639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.764378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1562 KachelY 1693 -0.74551466 0.51948639 -42.714844 29.764378
    Oben rechts KachelX + 1 1563 KachelY 1693 -0.74398068 0.51948639 -42.626953 29.764378
    Unten links KachelX 1562 KachelY + 1 1694 -0.74551466 0.51815427 -42.714844 29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 1563 KachelY + 1 1694 -0.74398068 0.51815427 -42.626953 29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51948639-0.51815427) × R
    0.00133211999999994 × 6371000     		dl = 8486.9365199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51948639-0.51815427) × R
    0.00133211999999994 × 6371000     		dr = 8486.9365199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74398068) × cos(0.51948639) × R
    0.00153398000000005 × 0.868074267810749 × 6371000     		do = 8483.67816975803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74398068) × cos(0.51815427) × R
    0.00153398000000005 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 8490.13361553099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51948639)-sin(0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868074267810749-0.868734807526026)×R²
    abs(-0.74398068--0.74551466)×0.00066053971527702×R²
    0.00153398000000005×0.00066053971527702×6371000²
    0.00153398000000005×0.00066053971527702×40589641000000     		ar = 72027842.2134616m²