Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15619 / 6398
↖ ↑ ↗
← N 73.233039°
W  8.404541°		 ← 352.40 m → N 73.233039°
W  8.393555°		 →
↑
352.44 m
↓
↑
352.44 m
↓
N 73.229870°
W  8.404541°		 ← 352.46 m →
124 212 m²		 N 73.229870°
W  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476669311523438 y=0.195266723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476669311523438 × 215)
    floor (0.476669311523438 × 32768)
    floor (15619.5)     		tx = 15619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195266723632812 × 215)
    floor (0.195266723632812 × 32768)
    floor (6398.5)     		ty = 6398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15619 / 6398 ti = "15/15619/6398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15619/6398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15619 ÷ 215
    15619 ÷ 32768     		x = 0.476654052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6398 ÷ 215
    6398 ÷ 32768     		y = 0.19525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.04669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14668691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19525146484375 × 2 - 1) × π
    0.6094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91479151842352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14668691} λ = -0.14668691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91479151842352))-π/2
    2×atan(6.78552399278489)-π/2
    2×1.42447699384486-π/2
    2.84895398768972-1.57079632675     		φ = 1.27815766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14668691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27815766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.233039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15619 KachelY 6398 -0.14668691 1.27815766 -8.404541 73.233039
    Oben rechts KachelX + 1 15620 KachelY 6398 -0.14649517 1.27815766 -8.393555 73.233039
    Unten links KachelX 15619 KachelY + 1 6399 -0.14668691 1.27810234 -8.404541 73.229870
    Unten rechts KachelX + 1 15620 KachelY + 1 6399 -0.14649517 1.27810234 -8.393555 73.229870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27815766-1.27810234) × R
    5.53199999999698e-05 × 6371000     		dl = 352.443719999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27815766-1.27810234) × R
    5.53199999999698e-05 × 6371000     		dr = 352.443719999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14668691--0.14649517) × cos(1.27815766) × R
    0.000191739999999996 × 0.288479712986905 × 6371000     		do = 352.399761171016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14668691--0.14649517) × cos(1.27810234) × R
    0.000191739999999996 × 0.288532680671414 × 6371000     		du = 352.464465198823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27815766)-sin(1.27810234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288479712986905-0.288532680671414)×R²
    abs(-0.14649517--0.14668691)×5.29676845086868e-05×R²
    0.000191739999999996×5.29676845086868e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.29676845086868e-05×40589641000000     		ar = 124212.4850494m²