Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15619 / 19199
↖ ↑ ↗
← S 29.525670°
W  8.404541°		 ← 1 062.94 m → S 29.525670°
W  8.393555°		 →
↑
1 062.94 m
↓
↑
1 062.94 m
↓
S 29.535229°
W  8.404541°		 ← 1 062.84 m →
1 129 781 m²		 S 29.535229°
W  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476669311523438 y=0.585922241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476669311523438 × 215)
    floor (0.476669311523438 × 32768)
    floor (15619.5)     		tx = 15619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585922241210938 × 215)
    floor (0.585922241210938 × 32768)
    floor (19199.5)     		ty = 19199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15619 / 19199 ti = "15/15619/19199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15619/19199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15619 ÷ 215
    15619 ÷ 32768     		x = 0.476654052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19199 ÷ 215
    19199 ÷ 32768     		y = 0.585906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.04669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14668691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.17181396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.539769489721832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14668691} λ = -0.14668691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539769489721832))-π/2
    2×atan(0.582882597319097)-π/2
    2×0.527738082006418-π/2
    1.05547616401284-1.57079632675     		φ = -0.51532016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14668691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51532016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.525670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15619 KachelY 19199 -0.14668691 -0.51532016 -8.404541 -29.525670
    Oben rechts KachelX + 1 15620 KachelY 19199 -0.14649517 -0.51532016 -8.393555 -29.525670
    Unten links KachelX 15619 KachelY + 1 19200 -0.14668691 -0.51548700 -8.404541 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 15620 KachelY + 1 19200 -0.14649517 -0.51548700 -8.393555 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51532016--0.51548700) × R
    0.000166840000000001 × 6371000     		dl = 1062.93764000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51532016--0.51548700) × R
    0.000166840000000001 × 6371000     		dr = 1062.93764000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14668691--0.14649517) × cos(-0.51532016) × R
    0.000191739999999996 × 0.870134987739935 × 6371000     		do = 1062.93561752128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14668691--0.14649517) × cos(-0.51548700) × R
    0.000191739999999996 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 1062.83516356908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51532016)-sin(-0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870134987739935-0.870052754632841)×R²
    abs(-0.14649517--0.14668691)×8.22331070938764e-05×R²
    0.000191739999999996×8.22331070938764e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.22331070938764e-05×40589641000000     		ar = 1129780.89123715m²