Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15618 / 17150
↖ ↑ ↗
← N 78.768861°
W137.103882°		 ← 59.49 m → N 78.768861°
W137.101135°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.768327°
W137.103882°		 ← 59.49 m →
3 536 m²		 N 78.768327°
W137.101135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119159698486328 y=0.130847930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119159698486328 × 217)
    floor (0.119159698486328 × 131072)
    floor (15618.5)     		tx = 15618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130847930908203 × 217)
    floor (0.130847930908203 × 131072)
    floor (17150.5)     		ty = 17150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15618 / 17150 ti = "17/15618/17150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15618/17150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15618 ÷ 217
    15618 ÷ 131072     		x = 0.119155883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17150 ÷ 217
    17150 ÷ 131072     		y = 0.130844116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119155883789062 × 2 - 1) × π
    -0.761688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39291416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130844116210938 × 2 - 1) × π
    0.738311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31947482501604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39291416} λ = -2.39291416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31947482501604))-π/2
    2×atan(10.1703316995073)-π/2
    2×1.47278615572694-π/2
    2.94557231145388-1.57079632675     		φ = 1.37477598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39291416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.103882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37477598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.768861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15618 KachelY 17150 -2.39291416 1.37477598 -137.103882 78.768861
    Oben rechts KachelX + 1 15619 KachelY 17150 -2.39286622 1.37477598 -137.101135 78.768861
    Unten links KachelX 15618 KachelY + 1 17151 -2.39291416 1.37476665 -137.103882 78.768327
    Unten rechts KachelX + 1 15619 KachelY + 1 17151 -2.39286622 1.37476665 -137.101135 78.768327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37477598-1.37476665) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dl = 59.4414299994812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37477598-1.37476665) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dr = 59.4414299994812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39291416--2.39286622) × cos(1.37477598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194767442768099 × 6371000     		do = 59.4869903353153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39291416--2.39286622) × cos(1.37476665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194776594084989 × 6371000     		du = 59.4897853830483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37477598)-sin(1.37476665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194767442768099-0.194776594084989)×R²
    abs(-2.39286622--2.39291416)×9.15131688958293e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.15131688958293e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.15131688958293e-06×40589641000000     		ar = 3536.07484272605m²