Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15617 / 19197
↖ ↑ ↗
← S 29.506550°
W  8.426514°		 ← 1 063.19 m → S 29.506550°
W  8.415527°		 →
↑
1 063.13 m
↓
↑
1 063.13 m
↓
S 29.516110°
W  8.426514°		 ← 1 063.09 m →
1 130 257 m²		 S 29.516110°
W  8.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476608276367188 y=0.585861206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476608276367188 × 215)
    floor (0.476608276367188 × 32768)
    floor (15617.5)     		tx = 15617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585861206054688 × 215)
    floor (0.585861206054688 × 32768)
    floor (19197.5)     		ty = 19197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15617 / 19197 ti = "15/15617/19197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15617/19197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15617 ÷ 215
    15617 ÷ 32768     		x = 0.476593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19197 ÷ 215
    19197 ÷ 32768     		y = 0.585845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14707041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.17169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.539385994524872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14707041} λ = -0.14707041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539385994524872))-π/2
    2×atan(0.583106172862894)-π/2
    2×0.527904944064577-π/2
    1.05580988812915-1.57079632675     		φ = -0.51498644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14707041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51498644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.506550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15617 KachelY 19197 -0.14707041 -0.51498644 -8.426514 -29.506550
    Oben rechts KachelX + 1 15618 KachelY 19197 -0.14687866 -0.51498644 -8.415527 -29.506550
    Unten links KachelX 15617 KachelY + 1 19198 -0.14707041 -0.51515331 -8.426514 -29.516110
    Unten rechts KachelX + 1 15618 KachelY + 1 19198 -0.14687866 -0.51515331 -8.415527 -29.516110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51498644--0.51515331) × R
    0.00016686999999993 × 6371000     		dl = 1063.12876999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51498644--0.51515331) × R
    0.00016686999999993 × 6371000     		dr = 1063.12876999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14707041--0.14687866) × cos(-0.51498644) × R
    0.000191750000000018 × 0.870299400990606 × 6371000     		do = 1063.19190750171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14707041--0.14687866) × cos(-0.51515331) × R
    0.000191750000000018 × 0.870217201552995 × 6371000     		du = 1063.0914894424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51498644)-sin(-0.51515331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870299400990606-0.870217201552995)×R²
    abs(-0.14687866--0.14707041)×8.21994376116741e-05×R²
    0.000191750000000018×8.21994376116741e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.21994376116741e-05×40589641000000     		ar = 1130256.52885467m²