Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15616 / 51968
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
W137.109375°		 ← 250.54 m → N 34.885931°
W137.106628°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
N 34.883678°
W137.109375°		 ← 250.55 m →
62 779 m²		 N 34.883678°
W137.106628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119144439697266 y=0.396488189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119144439697266 × 217)
    floor (0.119144439697266 × 131072)
    floor (15616.5)     		tx = 15616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396488189697266 × 217)
    floor (0.396488189697266 × 131072)
    floor (51968.5)     		ty = 51968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15616 / 51968 ti = "17/15616/51968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15616/51968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15616 ÷ 217
    15616 ÷ 131072     		x = 0.119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51968 ÷ 217
    51968 ÷ 131072     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119140625 × 2 - 1) × π
    -0.76171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39301003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39301003} λ = -2.39301003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39301003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15616 KachelY 51968 -2.39301003 0.60887436 -137.109375 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 15617 KachelY 51968 -2.39296209 0.60887436 -137.106628 34.885931
    Unten links KachelX 15616 KachelY + 1 51969 -2.39301003 0.60883503 -137.109375 34.883678
    Unten rechts KachelX + 1 15617 KachelY + 1 51969 -2.39296209 0.60883503 -137.106628 34.883678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.60883503) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dl = 250.571429999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.60883503) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dr = 250.571429999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39301003--2.39296209) × cos(0.60887436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 250.53839525489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39301003--2.39296209) × cos(0.60883503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.820314834904837 × 6371000     		du = 250.545265483623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.60883503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.820314834904837)×R²
    abs(-2.39296209--2.39301003)×2.24939415166547e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24939415166547e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24939415166547e-05×40589641000000     		ar = 62778.6247184583m²