Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15615 / 9953
↖ ↑ ↗
← N 57.509922°
W  8.448486°		 ← 656.17 m → N 57.509922°
W  8.437500°		 →
↑
656.21 m
↓
↑
656.21 m
↓
N 57.504020°
W  8.448486°		 ← 656.28 m →
430 624 m²		 N 57.504020°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476547241210938 y=0.303756713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476547241210938 × 215)
    floor (0.476547241210938 × 32768)
    floor (15615.5)     		tx = 15615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303756713867188 × 215)
    floor (0.303756713867188 × 32768)
    floor (9953.5)     		ty = 9953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15615 / 9953 ti = "15/15615/9953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15615/9953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15615 ÷ 215
    15615 ÷ 32768     		x = 0.476531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9953 ÷ 215
    9953 ÷ 32768     		y = 0.303741455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.04693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14745390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303741455078125 × 2 - 1) × π
    0.39251708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23312880582632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14745390} λ = -0.14745390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23312880582632))-π/2
    2×atan(3.43195066261112)-π/2
    2×1.2872669090997-π/2
    2.57453381819941-1.57079632675     		φ = 1.00373749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14745390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.448486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00373749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.509922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15615 KachelY 9953 -0.14745390 1.00373749 -8.448486 57.509922
    Oben rechts KachelX + 1 15616 KachelY 9953 -0.14726216 1.00373749 -8.437500 57.509922
    Unten links KachelX 15615 KachelY + 1 9954 -0.14745390 1.00363449 -8.448486 57.504020
    Unten rechts KachelX + 1 15616 KachelY + 1 9954 -0.14726216 1.00363449 -8.437500 57.504020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00373749-1.00363449) × R
    0.000102999999999964 × 6371000     		dl = 656.212999999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00373749-1.00363449) × R
    0.000102999999999964 × 6371000     		dr = 656.212999999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14745390--0.14726216) × cos(1.00373749) × R
    0.000191739999999996 × 0.537153550107554 × 6371000     		do = 656.173638035538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14745390--0.14726216) × cos(1.00363449) × R
    0.000191739999999996 × 0.537240426159241 × 6371000     		du = 656.279763695291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00373749)-sin(1.00363449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537153550107554-0.537240426159241)×R²
    abs(-0.14726216--0.14745390)×8.68760516870015e-05×R²
    0.000191739999999996×8.68760516870015e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.68760516870015e-05×40589641000000     		ar = 430624.492436113m²