Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15614 / 9952
↖ ↑ ↗
← N 57.515823°
W  8.459473°		 ← 656.10 m → N 57.515823°
W  8.448486°		 →
↑
656.15 m
↓
↑
656.15 m
↓
N 57.509922°
W  8.459473°		 ← 656.21 m →
430 536 m²		 N 57.509922°
W  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476516723632812 y=0.303726196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476516723632812 × 215)
    floor (0.476516723632812 × 32768)
    floor (15614.5)     		tx = 15614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303726196289062 × 215)
    floor (0.303726196289062 × 32768)
    floor (9952.5)     		ty = 9952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15614 / 9952 ti = "15/15614/9952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15614/9952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15614 ÷ 215
    15614 ÷ 32768     		x = 0.47650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9952 ÷ 215
    9952 ÷ 32768     		y = 0.3037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3037109375 × 2 - 1) × π
    0.392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2333205534248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14764565} λ = -0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2333205534248))-π/2
    2×atan(3.43260879400432)-π/2
    2×1.28731840388673-π/2
    2.57463680777346-1.57079632675     		φ = 1.00384048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00384048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.515823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15614 KachelY 9952 -0.14764565 1.00384048 -8.459473 57.515823
    Oben rechts KachelX + 1 15615 KachelY 9952 -0.14745390 1.00384048 -8.448486 57.515823
    Unten links KachelX 15614 KachelY + 1 9953 -0.14764565 1.00373749 -8.459473 57.509922
    Unten rechts KachelX + 1 15615 KachelY + 1 9953 -0.14745390 1.00373749 -8.448486 57.509922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00384048-1.00373749) × R
    0.000102990000000025 × 6371000     		dl = 656.149290000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00384048-1.00373749) × R
    0.000102990000000025 × 6371000     		dr = 656.149290000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14764565--0.14745390) × cos(1.00384048) × R
    0.000191749999999991 × 0.537066676792603 × 6371000     		do = 656.101732236875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14764565--0.14745390) × cos(1.00373749) × R
    0.000191749999999991 × 0.537153550107554 × 6371000     		du = 656.207860088197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00384048)-sin(1.00373749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537066676792603-0.537153550107554)×R²
    abs(-0.14745390--0.14764565)×8.68733149511636e-05×R²
    0.000191749999999991×8.68733149511636e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.68733149511636e-05×40589641000000     		ar = 430535.504012562m²