Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15613 / 6404
↖ ↑ ↗
← N 73.214013°
W  8.470459°		 ← 352.81 m → N 73.214013°
W  8.459473°		 →
↑
352.89 m
↓
↑
352.89 m
↓
N 73.210840°
W  8.470459°		 ← 352.87 m →
124 513 m²		 N 73.210840°
W  8.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476486206054688 y=0.195449829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476486206054688 × 215)
    floor (0.476486206054688 × 32768)
    floor (15613.5)     		tx = 15613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195449829101562 × 215)
    floor (0.195449829101562 × 32768)
    floor (6404.5)     		ty = 6404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15613 / 6404 ti = "15/15613/6404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15613/6404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15613 ÷ 215
    15613 ÷ 32768     		x = 0.476470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6404 ÷ 215
    6404 ÷ 32768     		y = 0.1954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.04705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14783740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1954345703125 × 2 - 1) × π
    0.609130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91364103283264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14783740} λ = -0.14783740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91364103283264))-π/2
    2×atan(6.77772183420072)-π/2
    2×1.42431095653749-π/2
    2.84862191307498-1.57079632675     		φ = 1.27782559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14783740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.470459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27782559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.214013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15613 KachelY 6404 -0.14783740 1.27782559 -8.470459 73.214013
    Oben rechts KachelX + 1 15614 KachelY 6404 -0.14764565 1.27782559 -8.459473 73.214013
    Unten links KachelX 15613 KachelY + 1 6405 -0.14783740 1.27777020 -8.470459 73.210840
    Unten rechts KachelX + 1 15614 KachelY + 1 6405 -0.14764565 1.27777020 -8.459473 73.210840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27782559-1.27777020) × R
    5.53899999999885e-05 × 6371000     		dl = 352.889689999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27782559-1.27777020) × R
    5.53899999999885e-05 × 6371000     		dr = 352.889689999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14783740--0.14764565) × cos(1.27782559) × R
    0.000191750000000018 × 0.288797649454284 × 6371000     		do = 352.806543881128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14783740--0.14764565) × cos(1.27777020) × R
    0.000191750000000018 × 0.288850678852173 × 6371000     		du = 352.871326674994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27782559)-sin(1.27777020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288797649454284-0.288850678852173)×R²
    abs(-0.14764565--0.14783740)×5.30293978891483e-05×R²
    0.000191750000000018×5.30293978891483e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.30293978891483e-05×40589641000000     		ar = 124513.222522477m²