Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15612 / 7425
↖ ↑ ↗
← N 69.653267°
W  8.481446°		 ← 424.76 m → N 69.653267°
W  8.470459°		 →
↑
424.82 m
↓
↑
424.82 m
↓
N 69.649446°
W  8.481446°		 ← 424.84 m →
180 464 m²		 N 69.649446°
W  8.470459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476455688476562 y=0.226608276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476455688476562 × 215)
    floor (0.476455688476562 × 32768)
    floor (15612.5)     		tx = 15612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226608276367188 × 215)
    floor (0.226608276367188 × 32768)
    floor (7425.5)     		ty = 7425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15612 / 7425 ti = "15/15612/7425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15612/7425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15612 ÷ 215
    15612 ÷ 32768     		x = 0.4764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7425 ÷ 215
    7425 ÷ 32768     		y = 0.226593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14802915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226593017578125 × 2 - 1) × π
    0.54681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71786673478433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14802915} λ = -0.14802915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71786673478433))-π/2
    2×atan(5.57262788201951)-π/2
    2×1.39323758241983-π/2
    2.78647516483967-1.57079632675     		φ = 1.21567884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14802915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.481446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21567884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.653267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15612 KachelY 7425 -0.14802915 1.21567884 -8.481446 69.653267
    Oben rechts KachelX + 1 15613 KachelY 7425 -0.14783740 1.21567884 -8.470459 69.653267
    Unten links KachelX 15612 KachelY + 1 7426 -0.14802915 1.21561216 -8.481446 69.649446
    Unten rechts KachelX + 1 15613 KachelY + 1 7426 -0.14783740 1.21561216 -8.470459 69.649446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21567884-1.21561216) × R
    6.66799999999856e-05 × 6371000     		dl = 424.818279999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21567884-1.21561216) × R
    6.66799999999856e-05 × 6371000     		dr = 424.818279999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14802915--0.14783740) × cos(1.21567884) × R
    0.000191749999999991 × 0.347700523917328 × 6371000     		do = 424.76460726295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14802915--0.14783740) × cos(1.21561216) × R
    0.000191749999999991 × 0.347763042688718 × 6371000     		du = 424.840982647942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21567884)-sin(1.21561216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347700523917328-0.347763042688718)×R²
    abs(-0.14783740--0.14802915)×6.25187713900188e-05×R²
    0.000191749999999991×6.25187713900188e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.25187713900188e-05×40589641000000     		ar = 180463.99275878m²