Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15611 / 8744
↖ ↑ ↗
← N 63.975961°
W  8.492431°		 ← 535.96 m → N 63.975961°
W  8.481446°		 →
↑
536.06 m
↓
↑
536.06 m
↓
N 63.971140°
W  8.492431°		 ← 536.06 m →
287 331 m²		 N 63.971140°
W  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476425170898438 y=0.266860961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476425170898438 × 215)
    floor (0.476425170898438 × 32768)
    floor (15611.5)     		tx = 15611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266860961914062 × 215)
    floor (0.266860961914062 × 32768)
    floor (8744.5)     		ty = 8744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15611 / 8744 ti = "15/15611/8744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15611/8744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15611 ÷ 215
    15611 ÷ 32768     		x = 0.476409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8744 ÷ 215
    8744 ÷ 32768     		y = 0.266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.04718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14822089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266845703125 × 2 - 1) × π
    0.46630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46495165238892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14822089} λ = -0.14822089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46495165238892))-π/2
    2×atan(4.32733401898096)-π/2
    2×1.34369374338448-π/2
    2.68738748676896-1.57079632675     		φ = 1.11659116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14822089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.492431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11659116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.975961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15611 KachelY 8744 -0.14822089 1.11659116 -8.492431 63.975961
    Oben rechts KachelX + 1 15612 KachelY 8744 -0.14802915 1.11659116 -8.481446 63.975961
    Unten links KachelX 15611 KachelY + 1 8745 -0.14822089 1.11650702 -8.492431 63.971140
    Unten rechts KachelX + 1 15612 KachelY + 1 8745 -0.14802915 1.11650702 -8.481446 63.971140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11659116-1.11650702) × R
    8.41400000000103e-05 × 6371000     		dl = 536.055940000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11659116-1.11650702) × R
    8.41400000000103e-05 × 6371000     		dr = 536.055940000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14822089--0.14802915) × cos(1.11659116) × R
    0.000191739999999996 × 0.438748207371673 × 6371000     		do = 535.964078344072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14822089--0.14802915) × cos(1.11650702) × R
    0.000191739999999996 × 0.438823814867588 × 6371000     		du = 536.056438611722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11659116)-sin(1.11650702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438748207371673-0.438823814867588)×R²
    abs(-0.14802915--0.14822089)×7.56074959148978e-05×R²
    0.000191739999999996×7.56074959148978e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.56074959148978e-05×40589641000000     		ar = 287331.483126744m²