Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15611 / 16604
↖ ↑ ↗
← N 79.057223°
W137.123108°		 ← 57.97 m → N 79.057223°
W137.120362°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.056702°
W137.123108°		 ← 57.97 m →
3 361 m²		 N 79.056702°
W137.120362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119106292724609 y=0.126682281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119106292724609 × 217)
    floor (0.119106292724609 × 131072)
    floor (15611.5)     		tx = 15611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126682281494141 × 217)
    floor (0.126682281494141 × 131072)
    floor (16604.5)     		ty = 16604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15611 / 16604 ti = "17/15611/16604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15611/16604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15611 ÷ 217
    15611 ÷ 131072     		x = 0.119102478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16604 ÷ 217
    16604 ÷ 131072     		y = 0.126678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119102478027344 × 2 - 1) × π
    -0.761795043945312 × 3.1415926535     		Λ = -2.39324971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126678466796875 × 2 - 1) × π
    0.74664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34564837220859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39324971} λ = -2.39324971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34564837220859))-π/2
    2×atan(10.4400395651077)-π/2
    2×1.47530258281121-π/2
    2.95060516562243-1.57079632675     		φ = 1.37980884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39324971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.123108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37980884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.057223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15611 KachelY 16604 -2.39324971 1.37980884 -137.123108 79.057223
    Oben rechts KachelX + 1 15612 KachelY 16604 -2.39320178 1.37980884 -137.120362 79.057223
    Unten links KachelX 15611 KachelY + 1 16605 -2.39324971 1.37979974 -137.123108 79.056702
    Unten rechts KachelX + 1 15612 KachelY + 1 16605 -2.39320178 1.37979974 -137.120362 79.056702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37980884-1.37979974) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37980884-1.37979974) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39324971--2.39320178) × cos(1.37980884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189828518952616 × 6371000     		do = 57.9664218992997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39324971--2.39320178) × cos(1.37979974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189837453481828 × 6371000     		du = 57.9691501652771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37980884)-sin(1.37979974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189828518952616-0.189837453481828)×R²
    abs(-2.39320178--2.39324971)×8.93452921232885e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.93452921232885e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.93452921232885e-06×40589641000000     		ar = 3360.74615978067m²