Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15610 / 16603
↖ ↑ ↗
← N 79.057744°
W137.125854°		 ← 57.98 m → N 79.057744°
W137.123108°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.057223°
W137.125854°		 ← 57.98 m →
3 361 m²		 N 79.057223°
W137.123108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119098663330078 y=0.126674652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119098663330078 × 217)
    floor (0.119098663330078 × 131072)
    floor (15610.5)     		tx = 15610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126674652099609 × 217)
    floor (0.126674652099609 × 131072)
    floor (16603.5)     		ty = 16603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15610 / 16603 ti = "17/15610/16603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15610/16603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15610 ÷ 217
    15610 ÷ 131072     		x = 0.119094848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16603 ÷ 217
    16603 ÷ 131072     		y = 0.126670837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119094848632812 × 2 - 1) × π
    -0.761810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39329765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126670837402344 × 2 - 1) × π
    0.746658325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.34569630910821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39329765} λ = -2.39329765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34569630910821))-π/2
    2×atan(10.4405400402319)-π/2
    2×1.4753071325995-π/2
    2.950614265199-1.57079632675     		φ = 1.37981794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39329765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.125854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37981794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.057744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15610 KachelY 16603 -2.39329765 1.37981794 -137.125854 79.057744
    Oben rechts KachelX + 1 15611 KachelY 16603 -2.39324971 1.37981794 -137.123108 79.057744
    Unten links KachelX 15610 KachelY + 1 16604 -2.39329765 1.37980884 -137.125854 79.057223
    Unten rechts KachelX + 1 15611 KachelY + 1 16604 -2.39324971 1.37980884 -137.123108 79.057223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37981794-1.37980884) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37981794-1.37980884) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39329765--2.39324971) × cos(1.37981794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189819584407684 × 6371000     		do = 57.9757870341713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39329765--2.39324971) × cos(1.37980884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189828518952616 × 6371000     		du = 57.9785158741687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37981794)-sin(1.37980884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189819584407684-0.189828518952616)×R²
    abs(-2.39324971--2.39329765)×8.93454493200441e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.93454493200441e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.93454493200441e-06×40589641000000     		ar = 3361.28913039817m²