Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1561 / 1694
↖ ↑ ↗
← N 29.688053°
W 42.802734°		 ← 8 490.13 m → N 29.688053°
W 42.714844°		 →
↑
8 493.37 m
↓
↑
8 493.37 m
↓
N 29.611670°
W 42.802734°		 ← 8 496.58 m →
72 137 238 m²		 N 29.611670°
W 42.714844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3812255859375 y=0.4136962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3812255859375 × 212)
    floor (0.3812255859375 × 4096)
    floor (1561.5)     		tx = 1561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4136962890625 × 212)
    floor (0.4136962890625 × 4096)
    floor (1694.5)     		ty = 1694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1561 / 1694 ti = "12/1561/1694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1561/1694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1561 ÷ 212
    1561 ÷ 4096     		x = 0.381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1694 ÷ 212
    1694 ÷ 4096     		y = 0.41357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74704864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41357421875 × 2 - 1) × π
    0.1728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.543029198895996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74704864} λ = -0.74704864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.543029198895996))-π/2
    2×atan(1.72121286931195)-π/2
    2×1.04447529788609-π/2
    2.08895059577217-1.57079632675     		φ = 0.51815427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74704864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.802734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51815427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.688053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1561 KachelY 1694 -0.74704864 0.51815427 -42.802734 29.688053
    Oben rechts KachelX + 1 1562 KachelY 1694 -0.74551466 0.51815427 -42.714844 29.688053
    Unten links KachelX 1561 KachelY + 1 1695 -0.74704864 0.51682114 -42.802734 29.611670
    Unten rechts KachelX + 1 1562 KachelY + 1 1695 -0.74551466 0.51682114 -42.714844 29.611670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51815427-0.51682114) × R
    0.00133313000000002 × 6371000     		dl = 8493.3712300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51815427-0.51682114) × R
    0.00133313000000002 × 6371000     		dr = 8493.3712300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74704864--0.74551466) × cos(0.51815427) × R
    0.00153398000000005 × 0.868734807526026 × 6371000     		do = 8490.13361553099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74704864--0.74551466) × cos(0.51682114) × R
    0.00153398000000005 × 0.869394304694246 × 6371000     		du = 8496.57887250555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51815427)-sin(0.51682114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868734807526026-0.869394304694246)×R²
    abs(-0.74551466--0.74704864)×0.000659497168219447×R²
    0.00153398000000005×0.000659497168219447×6371000²
    0.00153398000000005×0.000659497168219447×40589641000000     		ar = 72137238.2528257m²