Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1561 / 1591
↖ ↑ ↗
← S 70.080562°
E 94.394531°		 ← 6 659.28 m → S 70.080562°
E 94.570313°		 →
↑
6 649.73 m
↓
↑
6 649.73 m
↓
S 70.140365°
E 94.394531°		 ← 6 640.10 m →
44 218 670 m²		 S 70.140365°
E 94.570313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762451171875 y=0.777099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762451171875 × 211)
    floor (0.762451171875 × 2048)
    floor (1561.5)     		tx = 1561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777099609375 × 211)
    floor (0.777099609375 × 2048)
    floor (1591.5)     		ty = 1591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1561 / 1591 ti = "11/1561/1591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1561/1591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1561 ÷ 211
    1561 ÷ 2048     		x = 0.76220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1591 ÷ 211
    1591 ÷ 2048     		y = 0.77685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    0.5244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64749537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77685546875 × 2 - 1) × π
    -0.5537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7395342134126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64749537} λ = 1.64749537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7395342134126))-π/2
    2×atan(0.175602174708579)-π/2
    2×0.173829887749629-π/2
    0.347659775499258-1.57079632675     		φ = -1.22313655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64749537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22313655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.080562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1561 KachelY 1591 1.64749537 -1.22313655 94.394531 -70.080562
    Oben rechts KachelX + 1 1562 KachelY 1591 1.65056333 -1.22313655 94.570313 -70.080562
    Unten links KachelX 1561 KachelY + 1 1592 1.64749537 -1.22418030 94.394531 -70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 1562 KachelY + 1 1592 1.65056333 -1.22418030 94.570313 -70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22313655--1.22418030) × R
    0.00104375000000001 × 6371000     		dl = 6649.73125000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22313655--1.22418030) × R
    0.00104375000000001 × 6371000     		dr = 6649.73125000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64749537-1.65056333) × cos(-1.22313655) × R
    0.00306796000000009 × 0.340698528676901 × 6371000     		do = 6659.2842971704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64749537-1.65056333) × cos(-1.22418030) × R
    0.00306796000000009 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 6640.10010920302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22313655)-sin(-1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340698528676901-0.339717038125863)×R²
    abs(1.65056333-1.64749537)×0.000981490551037745×R²
    0.00306796000000009×0.000981490551037745×6371000²
    0.00306796000000009×0.000981490551037745×40589641000000     		ar = 44218670.0607787m²