Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15609 / 10040
↖ ↑ ↗
← N 56.992883°
W  8.514404°		 ← 665.48 m → N 56.992883°
W  8.503418°		 →
↑
665.58 m
↓
↑
665.58 m
↓
N 56.986897°
W  8.514404°		 ← 665.59 m →
442 964 m²		 N 56.986897°
W  8.503418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476364135742188 y=0.306411743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476364135742188 × 215)
    floor (0.476364135742188 × 32768)
    floor (15609.5)     		tx = 15609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306411743164062 × 215)
    floor (0.306411743164062 × 32768)
    floor (10040.5)     		ty = 10040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15609 / 10040 ti = "15/15609/10040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15609/10040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15609 ÷ 215
    15609 ÷ 32768     		x = 0.476348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10040 ÷ 215
    10040 ÷ 32768     		y = 0.306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.04730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14860439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306396484375 × 2 - 1) × π
    0.38720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21644676475854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14860439} λ = -0.14860439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21644676475854))-π/2
    2×atan(3.37517361593033)-π/2
    2×1.28275489096004-π/2
    2.56550978192008-1.57079632675     		φ = 0.99471346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14860439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.514404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99471346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.992883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15609 KachelY 10040 -0.14860439 0.99471346 -8.514404 56.992883
    Oben rechts KachelX + 1 15610 KachelY 10040 -0.14841264 0.99471346 -8.503418 56.992883
    Unten links KachelX 15609 KachelY + 1 10041 -0.14860439 0.99460899 -8.514404 56.986897
    Unten rechts KachelX + 1 15610 KachelY + 1 10041 -0.14841264 0.99460899 -8.503418 56.986897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99471346-0.99460899) × R
    0.000104470000000023 × 6371000     		dl = 665.578370000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99471346-0.99460899) × R
    0.000104470000000023 × 6371000     		dr = 665.578370000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14860439--0.14841264) × cos(0.99471346) × R
    0.000191749999999991 × 0.544743205134429 × 6371000     		do = 665.479680562987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14860439--0.14841264) × cos(0.99460899) × R
    0.000191749999999991 × 0.544830811007606 × 6371000     		du = 665.586703336191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99471346)-sin(0.99460899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544743205134429-0.544830811007606)×R²
    abs(-0.14841264--0.14860439)×8.76058731773544e-05×R²
    0.000191749999999991×8.76058731773544e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.76058731773544e-05×40589641000000     		ar = 442964.497481462m²