Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15608 / 17207
↖ ↑ ↗
← N 78.738329°
W137.131347°		 ← 59.63 m → N 78.738329°
W137.128601°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.737793°
W137.131347°		 ← 59.64 m →
3 556 m²		 N 78.737793°
W137.128601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119083404541016 y=0.131282806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119083404541016 × 217)
    floor (0.119083404541016 × 131072)
    floor (15608.5)     		tx = 15608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131282806396484 × 217)
    floor (0.131282806396484 × 131072)
    floor (17207.5)     		ty = 17207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15608 / 17207 ti = "17/15608/17207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15608/17207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15608 ÷ 217
    15608 ÷ 131072     		x = 0.11907958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17207 ÷ 217
    17207 ÷ 131072     		y = 0.131278991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.7618408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39339352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131278991699219 × 2 - 1) × π
    0.737442016601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.31674242173769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39339352} λ = -2.39339352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31674242173769))-π/2
    2×atan(10.1425801832628)-π/2
    2×1.47251970725458-π/2
    2.94503941450916-1.57079632675     		φ = 1.37424309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39339352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.131347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37424309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.738329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15608 KachelY 17207 -2.39339352 1.37424309 -137.131347 78.738329
    Oben rechts KachelX + 1 15609 KachelY 17207 -2.39334559 1.37424309 -137.128601 78.738329
    Unten links KachelX 15608 KachelY + 1 17208 -2.39339352 1.37423373 -137.131347 78.737793
    Unten rechts KachelX + 1 15609 KachelY + 1 17208 -2.39334559 1.37423373 -137.128601 78.737793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37424309-1.37423373) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37424309-1.37423373) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39339352--2.39334559) × cos(1.37424309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195290099952457 × 6371000     		do = 59.6341813604218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39339352--2.39334559) × cos(1.37423373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195299279721979 × 6371000     		du = 59.6369845134777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37424309)-sin(1.37423373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195290099952457-0.195299279721979)×R²
    abs(-2.39334559--2.39339352)×9.17976952125032e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.17976952125032e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.17976952125032e-06×40589641000000     		ar = 3556.222477553m²