Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15607 / 7449
↖ ↑ ↗
← N 69.561390°
W  8.536377°		 ← 426.58 m → N 69.561390°
W  8.525391°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
N 69.557553°
W  8.536377°		 ← 426.66 m →
181 996 m²		 N 69.557553°
W  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476303100585938 y=0.227340698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476303100585938 × 215)
    floor (0.476303100585938 × 32768)
    floor (15607.5)     		tx = 15607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227340698242188 × 215)
    floor (0.227340698242188 × 32768)
    floor (7449.5)     		ty = 7449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15607 / 7449 ti = "15/15607/7449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15607/7449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15607 ÷ 215
    15607 ÷ 32768     		x = 0.476287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7449 ÷ 215
    7449 ÷ 32768     		y = 0.227325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227325439453125 × 2 - 1) × π
    0.54534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71326479242081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14898788} λ = -0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71326479242081))-π/2
    2×atan(5.5470418874839)-π/2
    2×1.39243580535994-π/2
    2.78487161071988-1.57079632675     		φ = 1.21407528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21407528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.561390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15607 KachelY 7449 -0.14898788 1.21407528 -8.536377 69.561390
    Oben rechts KachelX + 1 15608 KachelY 7449 -0.14879614 1.21407528 -8.525391 69.561390
    Unten links KachelX 15607 KachelY + 1 7450 -0.14898788 1.21400832 -8.536377 69.557553
    Unten rechts KachelX + 1 15608 KachelY + 1 7450 -0.14879614 1.21400832 -8.525391 69.557553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21407528-1.21400832) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dl = 426.602160000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21407528-1.21400832) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dr = 426.602160000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14898788--0.14879614) × cos(1.21407528) × R
    0.000191739999999996 × 0.349203583141902 × 6371000     		do = 426.578555646495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14898788--0.14879614) × cos(1.21400832) × R
    0.000191739999999996 × 0.349266327018167 × 6371000     		du = 426.655202031025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21407528)-sin(1.21400832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349203583141902-0.349266327018167)×R²
    abs(-0.14879614--0.14898788)×6.27438762648147e-05×R²
    0.000191739999999996×6.27438762648147e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.27438762648147e-05×40589641000000     		ar = 181995.682073002m²