Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15607 / 19032
↖ ↑ ↗
← S 27.916766°
W  8.536377°		 ← 1 079.42 m → S 27.916766°
W  8.525391°		 →
↑
1 079.44 m
↓
↑
1 079.44 m
↓
S 27.926474°
W  8.536377°		 ← 1 079.32 m →
1 165 114 m²		 S 27.926474°
W  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476303100585938 y=0.580825805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476303100585938 × 215)
    floor (0.476303100585938 × 32768)
    floor (15607.5)     		tx = 15607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580825805664062 × 215)
    floor (0.580825805664062 × 32768)
    floor (19032.5)     		ty = 19032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15607 / 19032 ti = "15/15607/19032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15607/19032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15607 ÷ 215
    15607 ÷ 32768     		x = 0.476287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19032 ÷ 215
    19032 ÷ 32768     		y = 0.580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14898788} λ = -0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507747640775635))-π/2
    2×atan(0.60184963490632)-π/2
    2×0.541778416203503-π/2
    1.08355683240701-1.57079632675     		φ = -0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15607 KachelY 19032 -0.14898788 -0.48723949 -8.536377 -27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 15608 KachelY 19032 -0.14879614 -0.48723949 -8.525391 -27.916766
    Unten links KachelX 15607 KachelY + 1 19033 -0.14898788 -0.48740892 -8.536377 -27.926474
    Unten rechts KachelX + 1 15608 KachelY + 1 19033 -0.14879614 -0.48740892 -8.525391 -27.926474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48723949--0.48740892) × R
    0.000169430000000026 × 6371000     		dl = 1079.43853000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48723949--0.48740892) × R
    0.000169430000000026 × 6371000     		dr = 1079.43853000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14898788--0.14879614) × cos(-0.48723949) × R
    0.000191739999999996 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 1079.41916062778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14898788--0.14879614) × cos(-0.48740892) × R
    0.000191739999999996 × 0.883549324716522 × 6371000     		du = 1079.3222434572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48723949)-sin(-0.48740892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.883549324716522)×R²
    abs(-0.14879614--0.14898788)×7.93378447797588e-05×R²
    0.000191739999999996×7.93378447797588e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.93378447797588e-05×40589641000000     		ar = 1165114.32672519m²