Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15606 / 6342
↖ ↑ ↗
← N 73.409612°
W  8.547363°		 ← 348.81 m → N 73.409612°
W  8.536377°		 →
↑
348.81 m
↓
↑
348.81 m
↓
N 73.406476°
W  8.547363°		 ← 348.88 m →
121 681 m²		 N 73.406476°
W  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476272583007812 y=0.193557739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476272583007812 × 215)
    floor (0.476272583007812 × 32768)
    floor (15606.5)     		tx = 15606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193557739257812 × 215)
    floor (0.193557739257812 × 32768)
    floor (6342.5)     		ty = 6342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15606 / 6342 ti = "15/15606/6342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15606/6342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15606 ÷ 215
    15606 ÷ 32768     		x = 0.47625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6342 ÷ 215
    6342 ÷ 32768     		y = 0.19354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19354248046875 × 2 - 1) × π
    0.6129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92552938393842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14917963} λ = -0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92552938393842))-π/2
    2×atan(6.85877863223652)-π/2
    2×1.42601788476572-π/2
    2.85203576953144-1.57079632675     		φ = 1.28123944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28123944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.409612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15606 KachelY 6342 -0.14917963 1.28123944 -8.547363 73.409612
    Oben rechts KachelX + 1 15607 KachelY 6342 -0.14898788 1.28123944 -8.536377 73.409612
    Unten links KachelX 15606 KachelY + 1 6343 -0.14917963 1.28118469 -8.547363 73.406476
    Unten rechts KachelX + 1 15607 KachelY + 1 6343 -0.14898788 1.28118469 -8.536377 73.406476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28123944-1.28118469) × R
    5.47500000001033e-05 × 6371000     		dl = 348.812250000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28123944-1.28118469) × R
    5.47500000001033e-05 × 6371000     		dr = 348.812250000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14917963--0.14898788) × cos(1.28123944) × R
    0.000191750000000018 × 0.285527586530521 × 6371000     		do = 348.811706663489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14917963--0.14898788) × cos(1.28118469) × R
    0.000191750000000018 × 0.285580056886914 × 6371000     		du = 348.87580651032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28123944)-sin(1.28118469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285527586530521-0.285580056886914)×R²
    abs(-0.14898788--0.14917963)×5.24703563930529e-05×R²
    0.000191750000000018×5.24703563930529e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.24703563930529e-05×40589641000000     		ar = 121680.975663726m²