Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15606 / 17206
↖ ↑ ↗
← N 78.738865°
W137.136841°		 ← 59.64 m → N 78.738865°
W137.134094°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.738329°
W137.136841°		 ← 59.65 m →
3 557 m²		 N 78.738329°
W137.134094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119068145751953 y=0.131275177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119068145751953 × 217)
    floor (0.119068145751953 × 131072)
    floor (15606.5)     		tx = 15606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131275177001953 × 217)
    floor (0.131275177001953 × 131072)
    floor (17206.5)     		ty = 17206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15606 / 17206 ti = "17/15606/17206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15606/17206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15606 ÷ 217
    15606 ÷ 131072     		x = 0.119064331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17206 ÷ 217
    17206 ÷ 131072     		y = 0.131271362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119064331054688 × 2 - 1) × π
    -0.761871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.39348940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131271362304688 × 2 - 1) × π
    0.737457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31679035863731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39348940} λ = -2.39348940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31679035863731))-π/2
    2×atan(10.1430663987647)-π/2
    2×1.47252438794556-π/2
    2.94504877589112-1.57079632675     		φ = 1.37425245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39348940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.136841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37425245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.738865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15606 KachelY 17206 -2.39348940 1.37425245 -137.136841 78.738865
    Oben rechts KachelX + 1 15607 KachelY 17206 -2.39344146 1.37425245 -137.134094 78.738865
    Unten links KachelX 15606 KachelY + 1 17207 -2.39348940 1.37424309 -137.136841 78.738329
    Unten rechts KachelX + 1 15607 KachelY + 1 17207 -2.39344146 1.37424309 -137.134094 78.738329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37425245-1.37424309) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37425245-1.37424309) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39348940--2.39344146) × cos(1.37425245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195280920165827 × 6371000     		do = 59.6438195494894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39348940--2.39344146) × cos(1.37424309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195290099952457 × 6371000     		du = 59.6466232926141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37425245)-sin(1.37424309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195280920165827-0.195290099952457)×R²
    abs(-2.39344146--2.39348940)×9.17978663056429e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17978663056429e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17978663056429e-06×40589641000000     		ar = 3556.79724505281m²