Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15604 / 9923
↖ ↑ ↗
← N 57.686533°
W  8.569336°		 ← 653.03 m → N 57.686533°
W  8.558350°		 →
↑
653.09 m
↓
↑
653.09 m
↓
N 57.680660°
W  8.569336°		 ← 653.13 m →
426 522 m²		 N 57.680660°
W  8.558350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476211547851562 y=0.302841186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476211547851562 × 215)
    floor (0.476211547851562 × 32768)
    floor (15604.5)     		tx = 15604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302841186523438 × 215)
    floor (0.302841186523438 × 32768)
    floor (9923.5)     		ty = 9923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15604 / 9923 ti = "15/15604/9923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15604/9923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15604 ÷ 215
    15604 ÷ 32768     		x = 0.4761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9923 ÷ 215
    9923 ÷ 32768     		y = 0.302825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302825927734375 × 2 - 1) × π
    0.39434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23888123378073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14956313} λ = -0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23888123378073))-π/2
    2×atan(3.45174960293351)-π/2
    2×1.28880813309784-π/2
    2.57761626619568-1.57079632675     		φ = 1.00681994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00681994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.686533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15604 KachelY 9923 -0.14956313 1.00681994 -8.569336 57.686533
    Oben rechts KachelX + 1 15605 KachelY 9923 -0.14937138 1.00681994 -8.558350 57.686533
    Unten links KachelX 15604 KachelY + 1 9924 -0.14956313 1.00671743 -8.569336 57.680660
    Unten rechts KachelX + 1 15605 KachelY + 1 9924 -0.14937138 1.00671743 -8.558350 57.680660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00681994-1.00671743) × R
    0.000102510000000056 × 6371000     		dl = 653.091210000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00681994-1.00671743) × R
    0.000102510000000056 × 6371000     		dr = 653.091210000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14956313--0.14937138) × cos(1.00681994) × R
    0.000191749999999991 × 0.534551003617848 × 6371000     		do = 653.028487146422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14956313--0.14937138) × cos(1.00671743) × R
    0.000191749999999991 × 0.534637635722644 × 6371000     		du = 653.134320325951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00681994)-sin(1.00671743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534551003617848-0.534637635722644)×R²
    abs(-0.14937138--0.14956313)×8.66321047960916e-05×R²
    0.000191749999999991×8.66321047960916e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.66321047960916e-05×40589641000000     		ar = 426521.724567729m²