Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15604 / 6914
↖ ↑ ↗
← N 71.517945°
W  8.569336°		 ← 387.27 m → N 71.517945°
W  8.558350°		 →
↑
387.29 m
↓
↑
387.29 m
↓
N 71.514462°
W  8.569336°		 ← 387.34 m →
150 000 m²		 N 71.514462°
W  8.558350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476211547851562 y=0.211013793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476211547851562 × 215)
    floor (0.476211547851562 × 32768)
    floor (15604.5)     		tx = 15604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211013793945312 × 215)
    floor (0.211013793945312 × 32768)
    floor (6914.5)     		ty = 6914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15604 / 6914 ti = "15/15604/6914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15604/6914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15604 ÷ 215
    15604 ÷ 32768     		x = 0.4761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6914 ÷ 215
    6914 ÷ 32768     		y = 0.21099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21099853515625 × 2 - 1) × π
    0.5780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81584975760773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14956313} λ = -0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81584975760773))-π/2
    2×atan(6.1462968214732)-π/2
    2×1.40950996893605-π/2
    2.8190199378721-1.57079632675     		φ = 1.24822361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24822361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.517945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15604 KachelY 6914 -0.14956313 1.24822361 -8.569336 71.517945
    Oben rechts KachelX + 1 15605 KachelY 6914 -0.14937138 1.24822361 -8.558350 71.517945
    Unten links KachelX 15604 KachelY + 1 6915 -0.14956313 1.24816282 -8.569336 71.514462
    Unten rechts KachelX + 1 15605 KachelY + 1 6915 -0.14937138 1.24816282 -8.558350 71.514462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24822361-1.24816282) × R
    6.07900000000328e-05 × 6371000     		dl = 387.293090000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24822361-1.24816282) × R
    6.07900000000328e-05 × 6371000     		dr = 387.293090000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14956313--0.14937138) × cos(1.24822361) × R
    0.000191749999999991 × 0.317007630787244 × 6371000     		do = 387.268964319186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14956313--0.14937138) × cos(1.24816282) × R
    0.000191749999999991 × 0.317065284834841 × 6371000     		du = 387.339396766653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24822361)-sin(1.24816282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317007630787244-0.317065284834841)×R²
    abs(-0.14937138--0.14956313)×5.76540475974996e-05×R²
    0.000191749999999991×5.76540475974996e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.76540475974996e-05×40589641000000     		ar = 150000.232898154m²