Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15603 / 9924
↖ ↑ ↗
← N 57.680660°
W  8.580322°		 ← 653.10 m → N 57.680660°
W  8.569336°		 →
↑
653.15 m
↓
↑
653.15 m
↓
N 57.674786°
W  8.580322°		 ← 653.21 m →
426 610 m²		 N 57.674786°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476181030273438 y=0.302871704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476181030273438 × 215)
    floor (0.476181030273438 × 32768)
    floor (15603.5)     		tx = 15603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302871704101562 × 215)
    floor (0.302871704101562 × 32768)
    floor (9924.5)     		ty = 9924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15603 / 9924 ti = "15/15603/9924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15603/9924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15603 ÷ 215
    15603 ÷ 32768     		x = 0.476165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9924 ÷ 215
    9924 ÷ 32768     		y = 0.3028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3028564453125 × 2 - 1) × π
    0.394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23868948618225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14975487} λ = -0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23868948618225))-π/2
    2×atan(3.45108780168802)-π/2
    2×1.28875687950949-π/2
    2.57751375901899-1.57079632675     		φ = 1.00671743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00671743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.680660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15603 KachelY 9924 -0.14975487 1.00671743 -8.580322 57.680660
    Oben rechts KachelX + 1 15604 KachelY 9924 -0.14956313 1.00671743 -8.569336 57.680660
    Unten links KachelX 15603 KachelY + 1 9925 -0.14975487 1.00661491 -8.580322 57.674786
    Unten rechts KachelX + 1 15604 KachelY + 1 9925 -0.14956313 1.00661491 -8.569336 57.674786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00671743-1.00661491) × R
    0.000102519999999995 × 6371000     		dl = 653.154919999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00671743-1.00661491) × R
    0.000102519999999995 × 6371000     		dr = 653.154919999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(1.00671743) × R
    0.000191740000000024 × 0.534637635722644 × 6371000     		do = 653.100258562292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(1.00661491) × R
    0.000191740000000024 × 0.534724270659573 × 6371000     		du = 653.206089682154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00671743)-sin(1.00661491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534637635722644-0.534724270659573)×R²
    abs(-0.14956313--0.14975487)×8.66349369292863e-05×R²
    0.000191740000000024×8.66349369292863e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.66349369292863e-05×40589641000000     		ar = 426610.209565554m²