Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15603 / 6341
↖ ↑ ↗
← N 73.412749°
W  8.580322°		 ← 348.73 m → N 73.412749°
W  8.569336°		 →
↑
348.81 m
↓
↑
348.81 m
↓
N 73.409612°
W  8.580322°		 ← 348.79 m →
121 652 m²		 N 73.409612°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476181030273438 y=0.193527221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476181030273438 × 215)
    floor (0.476181030273438 × 32768)
    floor (15603.5)     		tx = 15603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193527221679688 × 215)
    floor (0.193527221679688 × 32768)
    floor (6341.5)     		ty = 6341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15603 / 6341 ti = "15/15603/6341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15603/6341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15603 ÷ 215
    15603 ÷ 32768     		x = 0.476165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6341 ÷ 215
    6341 ÷ 32768     		y = 0.193511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193511962890625 × 2 - 1) × π
    0.61297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9257211315369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14975487} λ = -0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9257211315369))-π/2
    2×atan(6.86009391266466)-π/2
    2×1.42604525686487-π/2
    2.85209051372973-1.57079632675     		φ = 1.28129419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28129419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.412749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15603 KachelY 6341 -0.14975487 1.28129419 -8.580322 73.412749
    Oben rechts KachelX + 1 15604 KachelY 6341 -0.14956313 1.28129419 -8.569336 73.412749
    Unten links KachelX 15603 KachelY + 1 6342 -0.14975487 1.28123944 -8.580322 73.409612
    Unten rechts KachelX + 1 15604 KachelY + 1 6342 -0.14956313 1.28123944 -8.569336 73.409612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28129419-1.28123944) × R
    5.47500000001033e-05 × 6371000     		dl = 348.812250000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28129419-1.28123944) × R
    5.47500000001033e-05 × 6371000     		dr = 348.812250000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(1.28129419) × R
    0.000191740000000024 × 0.285475115318241 × 6371000     		do = 348.729418151485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(1.28123944) × R
    0.000191740000000024 × 0.285527586530521 × 6371000     		du = 348.79351570096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28129419)-sin(1.28123944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285475115318241-0.285527586530521)×R²
    abs(-0.14956313--0.14975487)×5.24712122798587e-05×R²
    0.000191740000000024×5.24712122798587e-05×6371000²
    0.000191740000000024×5.24712122798587e-05×40589641000000     		ar = 121652.272022742m²