Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15603 / 19030
↖ ↑ ↗
← S 27.897349°
W  8.580322°		 ← 1 079.61 m → S 27.897349°
W  8.569336°		 →
↑
1 079.57 m
↓
↑
1 079.57 m
↓
S 27.907058°
W  8.580322°		 ← 1 079.52 m →
1 165 461 m²		 S 27.907058°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476181030273438 y=0.580764770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476181030273438 × 215)
    floor (0.476181030273438 × 32768)
    floor (15603.5)     		tx = 15603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580764770507812 × 215)
    floor (0.580764770507812 × 32768)
    floor (19030.5)     		ty = 19030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15603 / 19030 ti = "15/15603/19030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15603/19030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15603 ÷ 215
    15603 ÷ 32768     		x = 0.476165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19030 ÷ 215
    19030 ÷ 32768     		y = 0.58074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58074951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507364145578674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14975487} λ = -0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507364145578674))-π/2
    2×atan(0.602080485612839)-π/2
    2×0.541947865085509-π/2
    1.08389573017102-1.57079632675     		φ = -0.48690060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48690060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.897349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15603 KachelY 19030 -0.14975487 -0.48690060 -8.580322 -27.897349
    Oben rechts KachelX + 1 15604 KachelY 19030 -0.14956313 -0.48690060 -8.569336 -27.897349
    Unten links KachelX 15603 KachelY + 1 19031 -0.14975487 -0.48707005 -8.580322 -27.907058
    Unten rechts KachelX + 1 15604 KachelY + 1 19031 -0.14956313 -0.48707005 -8.569336 -27.907058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48690060--0.48707005) × R
    0.00016944999999996 × 6371000     		dl = 1079.56594999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48690060--0.48707005) × R
    0.00016944999999996 × 6371000     		dr = 1079.56594999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(-0.48690060) × R
    0.000191740000000024 × 0.883787276187528 × 6371000     		do = 1079.61291915404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(-0.48707005) × R
    0.000191740000000024 × 0.88370797972056 × 6371000     		du = 1079.51605252958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48690060)-sin(-0.48707005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883787276187528-0.88370797972056)×R²
    abs(-0.14956313--0.14975487)×7.92964669682483e-05×R²
    0.000191740000000024×7.92964669682483e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.92964669682483e-05×40589641000000     		ar = 1165461.06253235m²