Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15603 / 10024
↖ ↑ ↗
← N 57.088515°
W  8.580322°		 ← 663.73 m → N 57.088515°
W  8.569336°		 →
↑
663.86 m
↓
↑
663.86 m
↓
N 57.082545°
W  8.580322°		 ← 663.84 m →
440 661 m²		 N 57.082545°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476181030273438 y=0.305923461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476181030273438 × 215)
    floor (0.476181030273438 × 32768)
    floor (15603.5)     		tx = 15603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305923461914062 × 215)
    floor (0.305923461914062 × 32768)
    floor (10024.5)     		ty = 10024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15603 / 10024 ti = "15/15603/10024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15603/10024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15603 ÷ 215
    15603 ÷ 32768     		x = 0.476165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10024 ÷ 215
    10024 ÷ 32768     		y = 0.305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305908203125 × 2 - 1) × π
    0.38818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21951472633423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14975487} λ = -0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21951472633423))-π/2
    2×atan(3.385544419374)-π/2
    2×1.28358944216141-π/2
    2.56717888432283-1.57079632675     		φ = 0.99638256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99638256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.088515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15603 KachelY 10024 -0.14975487 0.99638256 -8.580322 57.088515
    Oben rechts KachelX + 1 15604 KachelY 10024 -0.14956313 0.99638256 -8.569336 57.088515
    Unten links KachelX 15603 KachelY + 1 10025 -0.14975487 0.99627836 -8.580322 57.082545
    Unten rechts KachelX + 1 15604 KachelY + 1 10025 -0.14956313 0.99627836 -8.569336 57.082545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99638256-0.99627836) × R
    0.000104199999999999 × 6371000     		dl = 663.858199999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99638256-0.99627836) × R
    0.000104199999999999 × 6371000     		dr = 663.858199999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(0.99638256) × R
    0.000191740000000024 × 0.543342734868998 × 6371000     		do = 663.734194752754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14975487--0.14956313) × cos(0.99627836) × R
    0.000191740000000024 × 0.543430208962434 × 6371000     		du = 663.84105096568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99638256)-sin(0.99627836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543342734868998-0.543430208962434)×R²
    abs(-0.14956313--0.14975487)×8.7474093436346e-05×R²
    0.000191740000000024×8.7474093436346e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.7474093436346e-05×40589641000000     		ar = 440660.856891895m²