Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15600 / 6343
↖ ↑ ↗
← N 73.406476°
W  8.613281°		 ← 348.88 m → N 73.406476°
W  8.602295°		 →
↑
348.94 m
↓
↑
348.94 m
↓
N 73.403337°
W  8.613281°		 ← 348.94 m →
121 748 m²		 N 73.403337°
W  8.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476089477539062 y=0.193588256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476089477539062 × 215)
    floor (0.476089477539062 × 32768)
    floor (15600.5)     		tx = 15600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193588256835938 × 215)
    floor (0.193588256835938 × 32768)
    floor (6343.5)     		ty = 6343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15600 / 6343 ti = "15/15600/6343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15600/6343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15600 ÷ 215
    15600 ÷ 32768     		x = 0.47607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6343 ÷ 215
    6343 ÷ 32768     		y = 0.193572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193572998046875 × 2 - 1) × π
    0.61285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92533763633994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15033012} λ = -0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92533763633994))-π/2
    2×atan(6.85746360398606)-π/2
    2×1.42599050763607-π/2
    2.85198101527214-1.57079632675     		φ = 1.28118469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28118469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.406476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15600 KachelY 6343 -0.15033012 1.28118469 -8.613281 73.406476
    Oben rechts KachelX + 1 15601 KachelY 6343 -0.15013837 1.28118469 -8.602295 73.406476
    Unten links KachelX 15600 KachelY + 1 6344 -0.15033012 1.28112992 -8.613281 73.403337
    Unten rechts KachelX + 1 15601 KachelY + 1 6344 -0.15013837 1.28112992 -8.602295 73.403337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28118469-1.28112992) × R
    5.47699999999818e-05 × 6371000     		dl = 348.939669999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28118469-1.28112992) × R
    5.47699999999818e-05 × 6371000     		dr = 348.939669999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15033012--0.15013837) × cos(1.28118469) × R
    0.000191750000000018 × 0.285580056886914 × 6371000     		do = 348.87580651032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15033012--0.15013837) × cos(1.28112992) × R
    0.000191750000000018 × 0.285632545554047 × 6371000     		du = 348.93992872627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28118469)-sin(1.28112992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285580056886914-0.285632545554047)×R²
    abs(-0.15013837--0.15033012)×5.24886671331992e-05×R²
    0.000191750000000018×5.24886671331992e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.24886671331992e-05×40589641000000     		ar = 121747.796218214m²