Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1560 / 2642
↖ ↑ ↗
← S 46.195042°
W 42.890625°		 ← 6 764.92 m → S 46.195042°
W 42.802734°		 →
↑
6 761.22 m
↓
↑
6 761.22 m
↓
S 46.255847°
W 42.890625°		 ← 6 757.43 m →
45 713 800 m²		 S 46.255847°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3809814453125 y=0.6451416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3809814453125 × 212)
    floor (0.3809814453125 × 4096)
    floor (1560.5)     		tx = 1560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6451416015625 × 212)
    floor (0.6451416015625 × 4096)
    floor (2642.5)     		ty = 2642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1560 / 2642 ti = "12/1560/2642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1560/2642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1560 ÷ 212
    1560 ÷ 4096     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2642 ÷ 212
    2642 ÷ 4096     		y = 0.64501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64501953125 × 2 - 1) × π
    -0.2900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.911184587978027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911184587978027))-π/2
    2×atan(0.402047680986289)-π/2
    2×0.38227037195969-π/2
    0.76454074391938-1.57079632675     		φ = -0.80625558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80625558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.195042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1560 KachelY 2642 -0.74858262 -0.80625558 -42.890625 -46.195042
    Oben rechts KachelX + 1 1561 KachelY 2642 -0.74704864 -0.80625558 -42.802734 -46.195042
    Unten links KachelX 1560 KachelY + 1 2643 -0.74858262 -0.80731683 -42.890625 -46.255847
    Unten rechts KachelX + 1 1561 KachelY + 1 2643 -0.74704864 -0.80731683 -42.802734 -46.255847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80625558--0.80731683) × R
    0.00106125000000001 × 6371000     		dl = 6761.22375000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80625558--0.80731683) × R
    0.00106125000000001 × 6371000     		dr = 6761.22375000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-0.80625558) × R
    0.00153397999999993 × 0.692205628382587 × 6371000     		do = 6764.91631678321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74704864) × cos(-0.80731683) × R
    0.00153397999999993 × 0.691439334251083 × 6371000     		du = 6757.42733451968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80625558)-sin(-0.80731683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692205628382587-0.691439334251083)×R²
    abs(-0.74704864--0.74858262)×0.000766294131504086×R²
    0.00153397999999993×0.000766294131504086×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766294131504086×40589641000000     		ar = 45713799.8158673m²