Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1560 / 1526
↖ ↑ ↗
← S 65.802776°
E 94.218750°		 ← 8 011.51 m → S 65.802776°
E 94.394531°		 →
↑
8 000.32 m
↓
↑
8 000.32 m
↓
S 65.874725°
E 94.218750°		 ← 7 989.11 m →
64 005 042 m²		 S 65.874725°
E 94.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761962890625 y=0.745361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761962890625 × 211)
    floor (0.761962890625 × 2048)
    floor (1560.5)     		tx = 1560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745361328125 × 211)
    floor (0.745361328125 × 2048)
    floor (1526.5)     		ty = 1526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1560 / 1526 ti = "11/1560/1526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1560/1526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1560 ÷ 211
    1560 ÷ 2048     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1526 ÷ 211
    1526 ÷ 2048     		y = 0.7451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    -0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54011671099316))-π/2
    2×atan(0.214356082255749)-π/2
    2×0.211160610897234-π/2
    0.422321221794468-1.57079632675     		φ = -1.14847510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14847510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.802776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1560 KachelY 1526 1.64442740 -1.14847510 94.218750 -65.802776
    Oben rechts KachelX + 1 1561 KachelY 1526 1.64749537 -1.14847510 94.394531 -65.802776
    Unten links KachelX 1560 KachelY + 1 1527 1.64442740 -1.14973084 94.218750 -65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 1561 KachelY + 1 1527 1.64749537 -1.14973084 94.394531 -65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14847510--1.14973084) × R
    0.00125573999999995 × 6371000     		dl = 8000.31953999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14847510--1.14973084) × R
    0.00125573999999995 × 6371000     		dr = 8000.31953999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.64749537) × cos(-1.14847510) × R
    0.00306796999999981 × 0.409878839145317 × 6371000     		do = 8011.50690216667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.64749537) × cos(-1.14973084) × R
    0.00306796999999981 × 0.408733105626485 × 6371000     		du = 7989.11235256439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14847510)-sin(-1.14973084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878839145317-0.408733105626485)×R²
    abs(1.64749537-1.64442740)×0.00114573351883218×R²
    0.00306796999999981×0.00114573351883218×6371000²
    0.00306796999999981×0.00114573351883218×40589641000000     		ar = 64005041.8485649m²