Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 156 / 278
↖ ↑ ↗
← N 63.233628°
W125.156250°		 ← 17.605 km → N 63.233628°
W124.804688°		 →
↑
17.654 km
↓
↑
17.654 km
↓
N 63.074866°
W125.156250°		 ← 17.702 km →
311.647 km²		 N 63.074866°
W124.804688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.15283203125 y=0.27197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.15283203125 × 210)
    floor (0.15283203125 × 1024)
    floor (156.5)     		tx = 156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27197265625 × 210)
    floor (0.27197265625 × 1024)
    floor (278.5)     		ty = 278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 156 / 278 ti = "10/156/278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/156/278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 156 ÷ 210
    156 ÷ 1024     		x = 0.15234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 278 ÷ 210
    278 ÷ 1024     		y = 0.271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15234375 × 2 - 1) × π
    -0.6953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.18438864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271484375 × 2 - 1) × π
    0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18438864} λ = -2.18438864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43580601741992))-π/2
    2×atan(4.20303136036834)-π/2
    2×1.33721566155042-π/2
    2.67443132310084-1.57079632675     		φ = 1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18438864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 156 KachelY 278 -2.18438864 1.10363500 -125.156250 63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 157 KachelY 278 -2.17825272 1.10363500 -124.804688 63.233628
    Unten links KachelX 156 KachelY + 1 279 -2.18438864 1.10086408 -125.156250 63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 157 KachelY + 1 279 -2.17825272 1.10086408 -124.804688 63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10363500-1.10086408) × R
    0.0027709199999999 × 6371000     		dl = 17653.5313199994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10363500-1.10086408) × R
    0.0027709199999999 × 6371000     		dr = 17653.5313199994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18438864--2.17825272) × cos(1.10363500) × R
    0.00613591999999974 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 17605.1984855207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18438864--2.17825272) × cos(1.10086408) × R
    0.00613591999999974 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 17701.8449045482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10363500)-sin(1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.452825877730534)×R²
    abs(-2.17825272--2.18438864)×0.00247228465516508×R²
    0.00613591999999974×0.00247228465516508×6371000²
    0.00613591999999974×0.00247228465516508×40589641000000     		ar = 311647197.553815m²