Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15599 / 21429
↖ ↑ ↗
← N 76.234098°
W137.156067°		 ← 72.68 m → N 76.234098°
W137.153320°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.233445°
W137.156067°		 ← 72.68 m →
5 283 m²		 N 76.233445°
W137.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119014739990234 y=0.163494110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119014739990234 × 217)
    floor (0.119014739990234 × 131072)
    floor (15599.5)     		tx = 15599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163494110107422 × 217)
    floor (0.163494110107422 × 131072)
    floor (21429.5)     		ty = 21429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15599 / 21429 ti = "17/15599/21429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15599/21429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15599 ÷ 217
    15599 ÷ 131072     		x = 0.119010925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21429 ÷ 217
    21429 ÷ 131072     		y = 0.163490295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119010925292969 × 2 - 1) × π
    -0.761978149414062 × 3.1415926535     		Λ = -2.39382496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163490295410156 × 2 - 1) × π
    0.673019409179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.11435283154182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39382496} λ = -2.39382496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11435283154182))-π/2
    2×atan(8.28422274325679)-π/2
    2×1.45066617354553-π/2
    2.90133234709105-1.57079632675     		φ = 1.33053602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39382496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.156067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33053602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.234098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15599 KachelY 21429 -2.39382496 1.33053602 -137.156067 76.234098
    Oben rechts KachelX + 1 15600 KachelY 21429 -2.39377702 1.33053602 -137.153320 76.234098
    Unten links KachelX 15599 KachelY + 1 21430 -2.39382496 1.33052461 -137.156067 76.233445
    Unten rechts KachelX + 1 15600 KachelY + 1 21430 -2.39377702 1.33052461 -137.153320 76.233445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33053602-1.33052461) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dl = 72.6931099995793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33053602-1.33052461) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dr = 72.6931099995793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39382496--2.39377702) × cos(1.33053602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237955464245954 × 6371000     		do = 72.6777237543162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39382496--2.39377702) × cos(1.33052461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237966546490381 × 6371000     		du = 72.6811085570212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33053602)-sin(1.33052461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237955464245954-0.237966546490381)×R²
    abs(-2.39377702--2.39382496)×1.10822444270853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10822444270853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10822444270853e-05×40589641000000     		ar = 5283.29279349293m²