Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15598 / 21435
↖ ↑ ↗
← N 76.230177°
W137.158813°		 ← 72.68 m → N 76.230177°
W137.156067°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.229523°
W137.158813°		 ← 72.69 m →
5 284 m²		 N 76.229523°
W137.156067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119007110595703 y=0.163539886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119007110595703 × 217)
    floor (0.119007110595703 × 131072)
    floor (15598.5)     		tx = 15598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163539886474609 × 217)
    floor (0.163539886474609 × 131072)
    floor (21435.5)     		ty = 21435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15598 / 21435 ti = "17/15598/21435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15598/21435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15598 ÷ 217
    15598 ÷ 131072     		x = 0.119003295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21435 ÷ 217
    21435 ÷ 131072     		y = 0.163536071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119003295898438 × 2 - 1) × π
    -0.761993408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.39387289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163536071777344 × 2 - 1) × π
    0.672927856445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.1140652101441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39387289} λ = -2.39387289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1140652101441))-π/2
    2×atan(8.28184036616008)-π/2
    2×1.45063194822362-π/2
    2.90126389644723-1.57079632675     		φ = 1.33046757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39387289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.158813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33046757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.230177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15598 KachelY 21435 -2.39387289 1.33046757 -137.158813 76.230177
    Oben rechts KachelX + 1 15599 KachelY 21435 -2.39382496 1.33046757 -137.156067 76.230177
    Unten links KachelX 15598 KachelY + 1 21436 -2.39387289 1.33045616 -137.158813 76.229523
    Unten rechts KachelX + 1 15599 KachelY + 1 21436 -2.39382496 1.33045616 -137.156067 76.229523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33046757-1.33045616) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dl = 72.6931099995793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33046757-1.33045616) × R
    1.1409999999934e-05 × 6371000     		dr = 72.6931099995793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39387289--2.39382496) × cos(1.33046757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238021947535184 × 6371000     		do = 72.6828650839417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39387289--2.39382496) × cos(1.33045616) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238033029593734 × 6371000     		du = 72.6862491238372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33046757)-sin(1.33045616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238021947535184-0.238033029593734)×R²
    abs(-2.39382496--2.39387289)×1.10820585501326e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10820585501326e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10820585501326e-05×40589641000000     		ar = 5283.6665048801m²