Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15597 / 21434
↖ ↑ ↗
← N 76.230830°
W137.161560°		 ← 72.69 m → N 76.230830°
W137.158813°		 →
↑
72.69 m
↓
↑
72.69 m
↓
N 76.230177°
W137.161560°		 ← 72.70 m →
5 285 m²		 N 76.230177°
W137.158813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118999481201172 y=0.163532257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118999481201172 × 217)
    floor (0.118999481201172 × 131072)
    floor (15597.5)     		tx = 15597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163532257080078 × 217)
    floor (0.163532257080078 × 131072)
    floor (21434.5)     		ty = 21434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15597 / 21434 ti = "17/15597/21434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15597/21434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15597 ÷ 217
    15597 ÷ 131072     		x = 0.118995666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21434 ÷ 217
    21434 ÷ 131072     		y = 0.163528442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118995666503906 × 2 - 1) × π
    -0.762008666992188 × 3.1415926535     		Λ = -2.39392083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163528442382812 × 2 - 1) × π
    0.672943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11411314704372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39392083} λ = -2.39392083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11411314704372))-π/2
    2×atan(8.28223738142615)-π/2
    2×1.45063765310792-π/2
    2.90127530621584-1.57079632675     		φ = 1.33047898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39392083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.161560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33047898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.230830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15597 KachelY 21434 -2.39392083 1.33047898 -137.161560 76.230830
    Oben rechts KachelX + 1 15598 KachelY 21434 -2.39387289 1.33047898 -137.158813 76.230830
    Unten links KachelX 15597 KachelY + 1 21435 -2.39392083 1.33046757 -137.161560 76.230177
    Unten rechts KachelX + 1 15598 KachelY + 1 21435 -2.39387289 1.33046757 -137.158813 76.230177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33047898-1.33046757) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dl = 72.693110000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33047898-1.33046757) × R
    1.1410000000156e-05 × 6371000     		dr = 72.693110000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39392083--2.39387289) × cos(1.33047898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238010865445646 × 6371000     		do = 72.6946447067291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39392083--2.39387289) × cos(1.33046757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238021947535184 × 6371000     		du = 72.698029462127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33047898)-sin(1.33046757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238010865445646-0.238021947535184)×R²
    abs(-2.39387289--2.39392083)×1.10820895379837e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10820895379837e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10820895379837e-05×40589641000000     		ar = 5284.52282841006m²